Calcule o produto nabla . (f x g): f(x, y, z) = < x, y, -z >

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa calcular o divergente do produto vetorial entre dois vetores, ou seja, . Aqui, foi dado que o vetor . Para resolver isso, vamos precisar saber sobre operações vetoriais como o produto vetorial e o operador divergente. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final!

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o divergente de um vetor. O divergente, representado por , é uma operação que, quando aplicada a um campo vetorial, nos dá uma medida de quão “divergente” o campo é em cada ponto. Se tivermos um vetor , então:

Passo 3

Agora, vamos lembrar do produto vetorial entre dois vetores f e g. O produto vetorial f * g resulta em um novo vetor que é perpendicular aos vetores f e g, e sua magnitude está relacionada ao seno do ângulo entre eles. Se e , então:

Passo 4

O exercício pede para calcular , ou seja, o divergente do produto vetorial entre f e g. Isso envolve primeiro calcular o produto vetorial f * g e depois aplicar o operador divergente nesse resultado.
Vamos calcular passo a passo.

Passo 5

Primeiro, calculamos o produto vetorial f * g. Com e assumindo que , temos:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos aplicar o operador divergente a esse resultado. Ou seja:
Vamos calcular cada termo separadamente.

Passo 7

Calculando cada derivada parcial:

Passo 8

Agora, somando tudo:

Passo 9

Observando a expressão acima, percebemos que ela se assemelha à fórmula da identidade vetorial:
No entanto, como não temos informações sobre g, fica difícil simplificar mais essa expressão sem dados adicionais sobre g.

Passo 10

Portanto, a resposta final é a expressão obtida no Passo 8, que representa o divergente do produto vetorial entre f e g.

Resposta

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