Considere o seguinte campo vetorial, f(x, y) = < 3 x^2 y, -2 x y^3 >. Encontre div f(x, y).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um campo vetorial dado por e precisamos encontrar a divergência desse campo, que é representada por . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Vetorial, especificamente com o conceito de divergência, que mede o quanto um campo vetorial está “espalhando” ou “convergindo” em cada ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a divergência de um campo vetorial em duas dimensões. Se tivermos um campo , a divergência é dada por:
Ou seja, a soma das derivadas parciais das componentes do vetor em relação às suas respectivas variáveis.

Passo 3

No nosso caso, identificamos que e . Vamos calcular cada derivada parcial separadamente.
Primeiro, a derivada parcial de em relação a :
Porque a derivada de em relação a é , multiplicado por fica .

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é , e multiplicando por temos .

Passo 5

Agora que temos ambas as derivadas parciais, vamos somá-las para encontrar a divergência:

Resposta

A divergência do campo vetorial é .

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