Calcule o produto vetorial \vec{a} \times \vec{b}, sendo os vetores \vec{a} e \vec{b} abaixo.
\vec{a}=(-2,4,-1) e \vec{b}=(5,-2,5)

Passo 1

O enunciado pede o produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3: \vec{a}=(-2,4,-1) e \vec{b}=(5,-2,5). Para resolver, vamos usar a definição de produto vetorial como determinante 3\times 3, que gera um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante em relação aos vetores unitários \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -2 & 4 & -1 \\[3pt] 5 & -2 & 5 \end{vmatrix}]

Passo 3

Fazemos a expansão pela primeira linha (regra de Sarrus ou co-fatores):
\vec{a}\times\vec{b} = \mathbf{i}\,\begin{vmatrix}4 & -1 \\[3pt] -2 & 5\end{vmatrix} \;-\; \mathbf{j}\,\begin{vmatrix}-2 & -1 \\[3pt] 5 & 5\end{vmatrix} \;+\; \mathbf{k}\,\begin{vmatrix}-2 & 4 \\[3pt] 5 & -2\end{vmatrix}]

Passo 4

Calculamos cada determinante 2\times 2:
Para \mathbf{i}:
\begin{vmatrix}4 & -1 \\\\ -2 & 5\end{vmatrix} =4\cdot5 - (-1)\cdot(-2) =20 - 2 =18.
Para \mathbf{j}:
\begin{vmatrix}-2 & -1 \\\\ 5 & 5\end{vmatrix} =(-2)\cdot5 - (-1)\cdot5 =-10 - (-5) =-10 + 5 =-5.
Para \mathbf{k}:
\begin{vmatrix}-2 & 4 \\\\ 5 & -2\end{vmatrix} =(-2)\cdot(-2) - 4\cdot5 =4 - 20 =-16.

Passo 5

Repare que no termo de \mathbf{j} há sinal negativo na expansão, então
\vec{a}\times\vec{b} =18\,\mathbf{i} -(-5)\,\mathbf{j} +(-16)\,\mathbf{k} =18\,\mathbf{i}+5\,\mathbf{j}-16\,\mathbf{k}.
Convertendo para coordenadas, temos o vetor (18,5,-16).

Resposta

(18,5,-16)

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