Calcule o produto vetorial \vec{a} \times \vec{b}, sendo os vetores \vec{a} e \vec{b} abaixo.
\vec{a}=(2,3,1) e \vec{b}=(3,-2,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial de \vec{a} e \vec{b} em \mathbb{R}^3, onde
\vec{a}=(2,3,1), \quad \vec{b}=(3,-2,5).
O conteúdo aqui é o produto vetorial, que podemos obter usando o determinante de uma matriz 3\times3 com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} na primeira linha.

Passo 2

Escrevemos o determinante correspondente a \vec{a}\times\vec{b}:
\vec{a}\times\vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 3 & 1\\\\ 3 & -2 & 5 \end{vmatrix}.
Isso significa que cada componente do vetor resultante é o cofator apropriado dessa matriz.

Passo 3

Calculamos a componente na direção de \mathbf{i} removendo a primeira coluna:
(\vec{a}\times\vec{b})_x = \begin{vmatrix} 3 & 1\\\\ -2 & 5 \end{vmatrix} =3\cdot5 - 1\cdot(-2)=15+2=17.

Passo 4

Calculamos a componente na direção de \mathbf{j}, lembrando do sinal negativo:
(\vec{a}\times\vec{b})_y = - \begin{vmatrix} 2 & 1\\\\ 3 & 5 \end{vmatrix} =- (2\cdot5 - 1\cdot3) =-(10-3)=-7.

Passo 5

Calculamos a componente na direção de \mathbf{k} removendo a terceira coluna:
(\vec{a}\times\vec{b})_z = \begin{vmatrix} 2 & 3\\\\ 3 & -2 \end{vmatrix} =2\cdot(-2) - 3\cdot3=-4-9=-13.

Resposta

O produto vetorial é
\vec{a}\times\vec{b}=(17,\,-7,\,-13).

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