Calcule o produto vetorial \vec{a} \times \vec{b}, sendo os vetores \vec{a} e \vec{b} abaixo.
\vec{a}=(4,3,-5) e \vec{b}=(3,-7,3)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b}, onde \vec{a}=(4,3,-5) e \vec{b}=(3,-7,3).
O conteúdo é “produto vetorial em \mathbb{R}^3” e vamos usar a definição via determinante com os vetores unitários \hat{i},\hat{j},\hat{k}.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
\vec{a}\times\vec{b} =\begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\\\ 4 & 3 & -5 \\\\ 3 & -7 & 3 \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos a componente em \hat{i} (primeira componente):
(\vec{a}\times\vec{b})_i = a_2\,b_3 - a_3\,b_2 = 3\cdot 3 - (-5)\cdot(-7) = 9 - 35 = -26.

Passo 4

Calculamos a componente em \hat{j} (segunda componente):
(\vec{a}\times\vec{b})_j = a_3\,b_1 - a_1\,b_3 = (-5)\cdot 3 - 4\cdot 3 = -15 - 12 = -27.

Passo 5

Calculamos a componente em \hat{k} (terceira componente):
(\vec{a}\times\vec{b})_k = a_1\,b_2 - a_2\,b_1 = 4\cdot(-7) - 3\cdot 3 = -28 - 9 = -37.

Passo 6

Juntando tudo, o vetor resultante é
\vec{a}\times\vec{b} = (-26,\,-27,\,-37).

Resposta

\displaystyle (-26,\,-27,\,-37)

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