Calcule o produto vetorial \vec{a} \times \vec{b}, sendo os vetores \vec{a} e \vec{b} abaixo.
\vec{a}=(2,-3,5) e \vec{b}=(3,-6,5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial \vec{a}\times\vec{b} em \mathbb{R}^3, com \vec{a}=(2,-3,5) e \vec{b}=(3,-6,5). O conteúdo aqui é a definição de produto vetorial, que podemos usar via determinante de uma matriz 3\times 3 com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k} na primeira linha e as componentes de \vec{a} e \vec{b} nas linhas seguintes.

Passo 2

Escrevemos o produto vetorial como determinante:
\vec{a}\times\vec{b} =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 2 & -3 & 5 \\\\ 3 & -6 & 5 \end{vmatrix}.

Passo 3

Calculamos o componente em \mathbf{i} (parte x):
(\vec{a}\times\vec{b})_x = \begin{vmatrix} -3 & 5 \\\\ -6 & 5 \end{vmatrix} = (-3)\cdot5 - 5\cdot(-6) = -15 + 30 = 15.

Passo 4

Calculamos o componente em \mathbf{j} (parte y), lembrando do sinal negativo no meio da expansão:
(\vec{a}\times\vec{b})_y = -\,\begin{vmatrix} 2 & 5 \\\\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -\bigl(2\cdot5 - 5\cdot3\bigr) = -\bigl(10 - 15\bigr) = -(-5) = 5.

Passo 5

Calculamos o componente em \mathbf{k} (parte z):
(\vec{a}\times\vec{b})_z = \begin{vmatrix} 2 & -3 \\\\ 3 & -6 \end{vmatrix} = 2\cdot(-6) - (-3)\cdot3 = -12 + 9 = -3.

Resposta

\vec{a}\times\vec{b} = (15,\,5,\,-3).

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