Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
|\mathbf{b}|

Passo 1

O enunciado nos dá três vetores e pede apenas a magnitude de \mathbf{b}. Informações fornecidas:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}
Pergunta a responder: calcular |\mathbf{b}|.

Passo 2

Conceito necessário (explicado devagarzinho): a magnitude (ou comprimento) de um vetor em \mathbb{R}^3 mede “quão grande” é o vetor. Se
\mathbf{v}=v_x\mathbf{i}+v_y\mathbf{j}+v_z\mathbf{k},
então a fórmula para a magnitude é
|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}.
O que cada coisa significa:
  • v_x é a componente do vetor na direção x (coeficiente de \mathbf{i});
  • v_y é a componente na direção y (coeficiente de \mathbf{j});
  • v_z é a componente na direção z (coeficiente de \mathbf{k}).
    Intuição rápida: essa fórmula vem do Teorema de Pitágoras estendido para 3 dimensões — soma dos quadrados das componentes e depois raiz quadrada.
Também existe a forma com produto escalar:
|\mathbf{v}|=\sqrt{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}},
onde \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z. Mas aqui vamos usar diretamente a soma dos quadrados das componentes.

Passo 3

Identificar as componentes de \mathbf{b} a partir do enunciado:
  • b_x=3 (coeficiente de \mathbf{i}),
  • b_y=-2 (coeficiente de \mathbf{j}),
  • b_z=1 (coeficiente de \mathbf{k}).

Passo 4

Aplicar a fórmula da magnitude:
|\mathbf{b}|=\sqrt{3^2+(-2)^2+1^2}.
Calcular passo a passo:
  • 3^2=9,
  • (-2)^2=4,
  • 1^2=1.
    Somando:
9+4+1=14.
Portanto
|\mathbf{b}|=\sqrt{14}.

Passo 5

Se quiser uma aproximação decimal (para conferir): |\mathbf{b}|\approx3,741657386\ldots. Mas a forma exata mais bonita para escrever é \sqrt{14}. Força aí — está tranquilo!

Resposta

\sqrt{14}

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