Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\mathbf{a} \times \mathbf{b}

Passo 1

O enunciado dá os vetores:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k}, \qquad \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}, \qquad \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
Pede-se calcular:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}.

Passo 2

O que é o produto vetorial (cruzado) e como calculá-lo — aula rápida e prática.
  • O produto vetorial de dois vetores em \mathbb{R}^3 dá um vetor perpendicular a ambos.
  • A direção segue a regra da mão direita e o módulo é a área do paralelogramo formado pelos dois vetores.
  • Computacionalmente, usa-se a representação por determinante com as componentes nas direções \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ a_x & a_y & a_z \\\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix}.
Aqui, a_x,a_y,a_z são as componentes de \mathbf{a} e b_x,b_y,b_z as de \mathbf{b}. Essa determinante é expandida por co-fatores para obter as componentes:
\mathbf{a}\times\mathbf{b}= \bigl(a_y b_z - a_z b_y\bigr)\mathbf{i} +\bigl(a_z b_x - a_x b_z\bigr)\mathbf{j} +\bigl(a_x b_y - a_y b_x\bigr)\mathbf{k}.
Explicando cada parte: por exemplo, a componente junto de \mathbf{i} usa apenas as componentes y,z de \mathbf{a} e \mathbf{b} porque ao desenvolver o determinante, \mathbf{i} fica multiplicando o menor formado pelas colunas y,z.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores dados (peguei esses números do enunciado):
\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)=(1,\,1,\,-2), \qquad \mathbf{b}=(b_x,b_y,b_z)=(3,\,-2,\,1).

Passo 4

Calcular a componente na direção de \mathbf{i} usando a fórmula:
\text{coeficiente de }\mathbf{i}=a_y b_z - a_z b_y.
Substituindo:
a_y b_z - a_z b_y = 1\cdot 1 - (-2)\cdot(-2) = 1 - 4 = -3.
Portanto a componente em \mathbf{i} é -3.

Passo 5

Calcular a componente na direção de \mathbf{j} usando a fórmula:
\text{coeficiente de }\mathbf{j}=a_z b_x - a_x b_z.
Substituindo:
a_z b_x - a_x b_z = (-2)\cdot 3 - 1\cdot 1 = -6 - 1 = -7.
Portanto a componente em \mathbf{j} é -7.

Passo 6

Calcular a componente na direção de \mathbf{k} usando a fórmula:
\text{coeficiente de }\mathbf{k}=a_x b_y - a_y b_x.
Substituindo:
a_x b_y - a_y b_x = 1\cdot(-2) - 1\cdot 3 = -2 - 3 = -5.
Portanto a componente em \mathbf{k} é -5.

Passo 7

Juntando as três componentes, obtemos:
\mathbf{a}\times\mathbf{b} = -3\mathbf{i}-7\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
Checagem rápida (útil na prova): verificar que esse vetor é ortogonal a \mathbf{a} e a \mathbf{b} calculando os produtos escalares.
\bigl(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr)\cdot\mathbf{a}=(-3)\cdot1+(-7)\cdot1+(-5)\cdot(-2)=-3-7+10=0,
\bigl(\mathbf{a}\times\mathbf{b}\bigr)\cdot\mathbf{b}=(-3)\cdot3+(-7)\cdot(-2)+(-5)\cdot1=-9+14-5=0.
Ambos zero, ótimo — resultado consistente.

Resposta

\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-3\mathbf{i}-7\mathbf{j}-5\mathbf{k}

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