Calcule a quantidade dada se \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k} \mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k} \mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k} |\mathbf{b} \times \mathbf{c}|
Passo 1
O enunciado pede calcular a magnitude do produto vetorial entre \mathbf{b} e \mathbf{c}, ou seja |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} (não será usada aqui, mas foi dada);
\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}, então os componentes de \mathbf{b} são (b_1,b_2,b_3)=(3,-2,1);
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}, então os componentes de \mathbf{c} são (c_1,c_2,c_3)=(0,1,-5).
O que preciso fornecer: o valor numérico de |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|.
Passo 2
Vamos calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c}. Uma forma padrão e direta é usar o determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
(Verificação rápida e útil: \mathbf{b}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 0 e \mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 0, o que confirma que o resultado é ortogonal a ambos.)
Passo 3
Agora precisamos da magnitude do vetor \mathbf{b}\times\mathbf{c}. A fórmula da magnitude (norma) de um vetor (x,y,z) é
\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Aplicando às componentes de \mathbf{b}\times\mathbf{c}=(9,15,3):
Fatorando \,315 = 9\cdot 35, podemos simplificar a raiz:
\sqrt{315} = \sqrt{9\cdot 35} = 3\sqrt{35}.
Como comentário pedagógico rápido: geometricamente |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}. Outra fórmula útil equivalente é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| = |\mathbf{b}|\,|\mathbf{c}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{b} e \mathbf{c}.