Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
|\mathbf{b} \times \mathbf{c}|

Passo 1

O enunciado pede calcular a magnitude do produto vetorial entre \mathbf{b} e \mathbf{c}, ou seja |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|.
As informações dadas (peguei diretamente do enunciado) são:
  • \mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k} (não será usada aqui, mas foi dada);
  • \mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k}, então os componentes de \mathbf{b} são (b_1,b_2,b_3)=(3,-2,1);
  • \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}, então os componentes de \mathbf{c} são (c_1,c_2,c_3)=(0,1,-5).
O que preciso fornecer: o valor numérico de |\mathbf{b}\times\mathbf{c}|.

Passo 2

Vamos calcular primeiro o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c}. Uma forma padrão e direta é usar o determinante com os versores \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\ b_1 & b_2 & b_3 \\\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.
Expandindo esse determinante (fórmula usual), obtemos as componentes:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = \mathbf{i}(b_2 c_3 - b_3 c_2) - \mathbf{j}(b_1 c_3 - b_3 c_1) + \mathbf{k}(b_1 c_2 - b_2 c_1).
Agora substituímos os valores b_1=3, b_2=-2, b_3=1 e c_1=0, c_2=1, c_3=-5:
Calcule cada termo:
b_2 c_3 - b_3 c_2 = (-2)\cdot(-5) - 1\cdot 1 = 10 - 1 = 9,
b_1 c_3 - b_3 c_1 = 3\cdot(-5) - 1\cdot 0 = -15 - 0 = -15,
b_1 c_2 - b_2 c_1 = 3\cdot 1 - (-2)\cdot 0 = 3 - 0 = 3.
Agora formamos o vetor:
\mathbf{b}\times\mathbf{c} = 9\mathbf{i} - (-15)\mathbf{j} + 3\mathbf{k} = 9\mathbf{i} + 15\mathbf{j} + 3\mathbf{k}.
(Verificação rápida e útil: \mathbf{b}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 0 e \mathbf{c}\cdot(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = 0, o que confirma que o resultado é ortogonal a ambos.)

Passo 3

Agora precisamos da magnitude do vetor \mathbf{b}\times\mathbf{c}. A fórmula da magnitude (norma) de um vetor (x,y,z) é
\sqrt{x^2+y^2+z^2}.
Aplicando às componentes de \mathbf{b}\times\mathbf{c}=(9,15,3):
|\mathbf{b}\times\mathbf{c}| = \sqrt{9^2 + 15^2 + 3^2} = \sqrt{81 + 225 + 9} = \sqrt{315}.
Fatorando \,315 = 9\cdot 35, podemos simplificar a raiz:
\sqrt{315} = \sqrt{9\cdot 35} = 3\sqrt{35}.
Como comentário pedagógico rápido: geometricamente |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| é a área do paralelogramo gerado por \mathbf{b} e \mathbf{c}. Outra fórmula útil equivalente é |\mathbf{b}\times\mathbf{c}| = |\mathbf{b}|\,|\mathbf{c}|\,\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre \mathbf{b} e \mathbf{c}.

Resposta

3\sqrt{35}

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