Calcule a quantidade dada se
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2 \mathbf{k}
\mathbf{b}=3 \mathbf{i}-2 \mathbf{j}+\mathbf{k}
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5 \mathbf{k}
\mathbf{a} \times(\mathbf{b} \times \mathbf{c})

Passo 1

O enunciado dá três vetores e pede para calcular \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}). Os dados são:
\mathbf{a}=\mathbf{i}+\mathbf{j}-2\mathbf{k},
\mathbf{b}=3\mathbf{i}-2\mathbf{j}+\mathbf{k},
\mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}.
A quantidade solicitada é o produto vetorial de \mathbf{a} com o produto vetorial \mathbf{b}\times\mathbf{c}, ou seja, o vetor \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}).

Passo 2

Vamos usar uma identidade vetorial muito útil que simplifica esse tipo de expressão. A identidade do produto vetorial aninhado (produto triplo vetorial) é
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Explicando cada coisa:
  • \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} é o produto escalar (ou ponto) entre \mathbf{a} e \mathbf{c}. Para vetores em componentes (x_1,y_1,z_1) e (x_2,y_2,z_2),
\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2.
  • Multiplicar um vetor \mathbf{v} pelo número (escala) \lambda significa multiplicar cada componente de \mathbf{v} por \lambda.
    A vantagem dessa identidade é que transforma um produto vetorial de um produto vetorial em combinação linear de vetores dados, evitando cálculos de determinantes longos.

Passo 3

Primeiro escrevo os vetores em componentes para facilitar contas:
\mathbf{a}=(1,1,-2),\qquad \mathbf{b}=(3,-2,1),\qquad \mathbf{c}=(0,1,-5)
(poisé: \mathbf{c}=\mathbf{j}-5\mathbf{k}=(0,1,-5).)
Calculo os produtos escalares que aparecem na identidade.
Calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{c}:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}=1\cdot0 + 1\cdot1 + (-2)\cdot(-5)=0+1+10=11.
Calcular \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}:
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=1\cdot3 + 1\cdot(-2) + (-2)\cdot1=3-2-2=-1.

Passo 4

Agora aplico a identidade:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})-\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}).
Substituindo os valores que acabamos de obter:
\mathbf{b}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})=11\mathbf{b}=11(3,-2,1)=(33,-22,11),
\mathbf{c}\,(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})=(-1)\mathbf{c}=-1(0,1,-5)=(0,-1,5).
Agora faço a subtração componente a componente:
(33,-22,11)-(0,-1,5)=(33,-22+1,11-5)=(33,-21,6).
Em notação com \mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}:
\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})=33\mathbf{i}-21\mathbf{j}+6\mathbf{k}.

Passo 5

Verificação alternativa (checadinha para ficar mais seguro): calcular \mathbf{b}\times\mathbf{c} e depois \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) diretamente.
Calculo \mathbf{b}\times\mathbf{c} por componentes:
\mathbf{b}\times\mathbf{c}=(\,(-2)(-5)-1\cdot1,\;1\cdot0-3(-5),\;3\cdot1-(-2)\cdot0\,)=(9,15,3).
Agora \mathbf{a}\times(9,15,3):
\mathbf{a}\times(9,15,3)=(1\cdot3-(-2)\cdot15,\;(-2)\cdot9-1\cdot3,\;1\cdot15-1\cdot9)=(3+30,-18-3,15-9)=(33,-21,6),
que coincide com o resultado anterior. Boa — está certo.

Resposta

33\mathbf{i}-21\mathbf{j}+6\mathbf{k}

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