Calcule a quantidade dada se
Passo 1
O enunciado dá três vetores e pede para calcular
. Os dados são:
,
,
.
A quantidade solicitada é o produto vetorial de com o produto vetorial
, ou seja, o vetor
.
A quantidade solicitada é o produto vetorial de
Passo 2
Vamos usar uma identidade vetorial muito útil que simplifica esse tipo de expressão. A identidade do produto vetorial aninhado (produto triplo vetorial) é
Explicando cada coisa:
-
é o produto escalar (ou ponto) entre e . Para vetores em componentes e ,
- Multiplicar um vetor
pelo número (escala) significa multiplicar cada componente de por .
A vantagem dessa identidade é que transforma um produto vetorial de um produto vetorial em combinação linear de vetores dados, evitando cálculos de determinantes longos.
Passo 3
Primeiro escrevo os vetores em componentes para facilitar contas:
(poisé:
.)
Calculo os produtos escalares que aparecem na identidade.
Calcular
:
Calcular
:
Passo 4
Agora aplico a identidade:
Substituindo os valores que acabamos de obter:
Agora faço a subtração componente a componente:
Em notação com
:
Passo 5
Verificação alternativa (checadinha para ficar mais seguro): calcular
e depois
diretamente.
Calculo
por componentes:
Agora
:
que coincide com o resultado anterior. Boa — está certo.