Calcule o quanto a barreira energética para a nucleação homogênea é maior que e a barreira energética para a nucleação heterogênea.
Considere que:
R_{e}=\frac{2 \gamma_{\Delta l} T_{F}}{L D T}
A prata apresenta estrutura cristalina cúbica de faces centradas;
A densidade da prata é 10,49 \mathrm{~g} / \mathrm{cm} 3.
A massa atômica da prata é 107.
\Delta G_{c}=\frac{16 \pi \gamma_{0} \frac{\pi}{1 F}{ }^{2}}{\Delta}
O calor latente de fusão da prata é 1,103 \times 109 \mathrm{~J} / \mathrm{m} 3.
A temperatura de fusão da prata é 1233,50 \mathrm{~K}.
A energia por unidade de superfície entre líquido e o agente nucleador é 40 \mu \mathrm{~J} / \mathrm{cm} 2.
A energia por unidade de superfície entre sólido e líquido =22,7 \mu \mathrm{~J} / \mathrm{cm} 2.
A energia por unidade de superfície entre sólido e o agente nucleador =19 \mu \mathrm{~J} / \mathrm{cm} 2.
A constante universal dos gases é 8,314 \mathrm{~J} / \mathrm{mol} . \mathrm{K}.

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
O enunciado pede: calcular “o quanto a barreira energética para a nucleação homogênea é maior que a barreira energética para a nucleação heterogênea” — ou seja, encontrar a razão
\frac{\Delta G_{\text{homo}}^{*}}{\Delta G_{\text{hetero}}^{*}}
ou equivalente em percentual.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
  • Temperatura de fusão: \;T_F = 1233{,}50\\ \mathrm{K}.
  • Calor latente de fusão por unidade de volume: \;L = 1{,}103\times10^{9}\\ \mathrm{J/m^{3}}.
  • Energia superficial sólido–líquido: \;\gamma_{sl} = 22{,}7\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}}.
  • Energia superficial líquido–agente nucleador: \;\gamma_{ln} = 40\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}}.
  • Energia superficial sólido–agente nucleador: \;\gamma_{sn} = 19\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}}.
  • Constante dos gases (fornecida, não usada diretamente aqui): \;R = 8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\cdot K)}.
Observações de unidade que vou usar (conversões que farei):
  • Converter \mu\mathrm{J/cm^{2}} para \mathrm{J/m^{2}} usando 1\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}} = 0{,}01\\ \mathrm{J/m^{2}}.
  • Não foi dada a super-resfriamento \Delta T. Felizmente a razão entre barreiras homogênea e heterogênea depende apenas do fator geométrico f(\theta) (ver passo teórico), que é independente de \Delta T. Portanto posso calcular a razão sem precisar de \Delta T.

Passo 2

Resumo do modelo físico e das fórmulas importantes (aula rápida e intuitiva).
  • Para nucleação homogênea (núcleo esférico dentro do líquido), a barreira livre de formação do núcleo crítico vale, na teoria clássica,
\Delta G_{\text{homo}}^{*}=\frac{16\pi\gamma_{sl}^{3}}{3\Delta g_{v}^{2}},
onde
  • \gamma_{sl} é a energia superficial sólido–líquido (unidade \mathrm{J/m^{2}});
  • \Delta g_{v} é a variação de energia livre por unidade de volume entre sólido e líquido (unidade \mathrm{J/m^{3}}); para solidificação, aproximadamente
\Delta g_{v}\approx\frac{L\,\Delta T}{T_F},
com L o calor latente por volume e \Delta T=T_F-T o sub-resfriamento.
  • Para nucleação heterogênea em um agente nucleador plano, o núcleo tem a forma de um casquete esférico. A barreira é reduzida por um fator geométrico f(\theta):
\Delta G_{\text{hetero}}^{*}=f(\theta)\,\Delta G_{\text{homo}}^{*},
onde \theta é o ângulo de contato do casquete. Assim a razão pedida é
\frac{\Delta G_{\text{homo}}^{*}}{\Delta G_{\text{hetero}}^{*}}=\frac{1}{f(\theta)}.
Importante: f(\theta) depende só de \theta e não de \Delta T nem de L, por isso podemos responder sem \Delta T.
  • Fórmula padrão para f(\theta) (casquete esférico) é
f(\theta)=\frac{(1-\cos\theta)^{2}(2+\cos\theta)}{4}.
Essa expressão varia entre f=0 (ângulo \theta=0^\circ, molhamento total, nucleação sem barreira) e f=1 (ângulo \theta=180^\circ, sem auxílio do agente, retorna à nucleação homogênea).
  • Para obter \theta usamos a condição de equilíbrio de superfícies (equação de Young adaptada ao caso sólido no líquido sobre um substrato):
\cos\theta=\frac{\gamma_{sn}-\gamma_{ln}}{\gamma_{sl}},
onde \gamma_{sn} é sólido–nucleador, \gamma_{ln} é líquido–nucleador e \gamma_{sl} é sólido–líquido.
Agora vamos aplicar essas fórmulas com os números.

Passo 3

Converter as energias de \mu\mathrm{J/cm^{2}} para \mathrm{J/m^{2}} (passo mecânico, importante para consistência das unidades).
  • \gamma_{sl}=22{,}7\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}} \Rightarrow \gamma_{sl}=22{,}7\times0{,}01=0{,}227\\ \mathrm{J/m^{2}}.
  • \gamma_{ln}=40\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}} \Rightarrow \gamma_{ln}=40\times0{,}01=0{,}400\\ \mathrm{J/m^{2}}.
  • \gamma_{sn}=19\\ \mu\mathrm{J/cm^{2}} \Rightarrow \gamma_{sn}=19\times0{,}01=0{,}190\\ \mathrm{J/m^{2}}.
Coloquei tudo em \mathrm{J/m^{2}} para poder aplicar a equação de Young corretamente.

Passo 4

Calcular \cos\theta pela equação de Young adaptada:
\cos\theta=\frac{\gamma_{sn}-\gamma_{ln}}{\gamma_{sl}}=\frac{0{,}190-0{,}400}{0{,}227}.
Agora calculo numericamente:
\cos\theta=\frac{-0{,}210}{0{,}227}\approx -0{,}9256.
Interpretação física rápida: \cos\theta negativo e próximo de -1 indica um ângulo de contato grande (próximo de 180^\circ), ou seja, o agente nucleador não é muito “útil” para facilitar a nucleação — o núcleo prefere quase não aderir ao nucleador.

Passo 5

Calcular f(\theta) com a fórmula do casquete:
f(\theta)=\frac{(1-\cos\theta)^{2}(2+\cos\theta)}{4}.
Substituindo \cos\theta\approx -0{,}9256:
  • 1-\cos\theta \approx 1 - (-0{,}9256)=1{,}9256.
  • (1-\cos\theta)^{2}\approx(1{,}9256)^{2}\approx 3{,}7087.
  • 2+\cos\theta\approx 2-0{,}9256=1{,}0744.
Multiplicando:
(1-\cos\theta)^{2}(2+\cos\theta)\approx 3{,}7087\times1{,}0744\approx 3{,}986.
Finalmente,
f(\theta)\approx\frac{3{,}986}{4}\approx 0{,}9965\\ (\text{aprox.}).
(Arredondei mantendo precisão suficiente para ver que f é muito próximo de 1.)

Passo 6

Calcular a razão pedida e a diferença percentual.
Razão:
\frac{\Delta G_{\text{homo}}^{*}}{\Delta G_{\text{hetero}}^{*}}=\frac{1}{f(\theta)}\approx\frac{1}{0{,}9965}\approx 1{,}0035.
Diferença percentual (quanto, em porcentagem, a barreira homogênea é maior que a heterogênea):
\left(\frac{1}{f(\theta)}-1\right)\times100\%\approx(1{,}0035-1)\times100\%\approx0{,}35\%.
Interpretação curta e animadora: a presença do agente nucleador com os valores de energias dadas praticamente não reduz a barreira — a nucleação heterogênea tem quase a mesma barreira que a homogênea, porque o ângulo de contato é grande (o agente não “molha” bem o sólido).

Resposta

\displaystyle \frac{\Delta G_{\text{homo}}^{*}}{\Delta G_{\text{hetero}}^{*}}\approx 1{,}0035
A barreira homogênea é cerca de 0{,}35\% maior que a barreira heterogênea.

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