Calcule o quanto a barreira energética para a nucleação homogênea é maior que e a barreira energética para a nucleação heterogênea.
Considere que:
A prata apresenta estrutura cristalina cúbica de faces centradas;
A densidade da prata é
.
A massa atômica da prata é 107.
O calor latente de fusão da prata é
.
A temperatura de fusão da prata é
.
A energia por unidade de superfície entre líquido e o agente nucleador é
.
A energia por unidade de superfície entre sólido e líquido
.
A energia por unidade de superfície entre sólido e o agente nucleador
.
A constante universal dos gases é
.
A densidade da prata é
A massa atômica da prata é 107.
A temperatura de fusão da prata é
A energia por unidade de superfície entre líquido e o agente nucleador é
A energia por unidade de superfície entre sólido e líquido
A energia por unidade de superfície entre sólido e o agente nucleador
A constante universal dos gases é
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
O enunciado pede: calcular “o quanto a barreira energética para a nucleação homogênea é maior que a barreira energética para a nucleação heterogênea” — ou seja, encontrar a razão
ou equivalente em percentual.
Dados fornecidos (peguei estes valores do enunciado):
- Temperatura de fusão:
- Calor latente de fusão por unidade de volume:
- Energia superficial sólido–líquido:
- Energia superficial líquido–agente nucleador:
- Energia superficial sólido–agente nucleador:
- Constante dos gases (fornecida, não usada diretamente aqui):
Observações de unidade que vou usar (conversões que farei):
- Converter
para usando . - Não foi dada a super-resfriamento
. Felizmente a razão entre barreiras homogênea e heterogênea depende apenas do fator geométrico (ver passo teórico), que é independente de . Portanto posso calcular a razão sem precisar de .
Passo 2
Resumo do modelo físico e das fórmulas importantes (aula rápida e intuitiva).
- Para nucleação homogênea (núcleo esférico dentro do líquido), a barreira livre de formação do núcleo crítico vale, na teoria clássica,
onde
-
é a energia superficial sólido–líquido (unidade ); -
é a variação de energia livre por unidade de volume entre sólido e líquido (unidade ); para solidificação, aproximadamente
com
o calor latente por volume e
o sub-resfriamento.
- Para nucleação heterogênea em um agente nucleador plano, o núcleo tem a forma de um casquete esférico. A barreira é reduzida por um fator geométrico
:
onde
é o ângulo de contato do casquete. Assim a razão pedida é
Importante:
depende só de
e não de
nem de
, por isso podemos responder sem
.
- Fórmula padrão para
(casquete esférico) é
Essa expressão varia entre
(ângulo
, molhamento total, nucleação sem barreira) e
(ângulo
, sem auxílio do agente, retorna à nucleação homogênea).
- Para obter
usamos a condição de equilíbrio de superfícies (equação de Young adaptada ao caso sólido no líquido sobre um substrato):
onde
é sólido–nucleador,
é líquido–nucleador e
é sólido–líquido.
Agora vamos aplicar essas fórmulas com os números.
Passo 3
Converter as energias de
para
(passo mecânico, importante para consistência das unidades).
Coloquei tudo em
para poder aplicar a equação de Young corretamente.
Passo 4
Calcular
pela equação de Young adaptada:
Agora calculo numericamente:
Interpretação física rápida:
negativo e próximo de
indica um ângulo de contato grande (próximo de
), ou seja, o agente nucleador não é muito “útil” para facilitar a nucleação — o núcleo prefere quase não aderir ao nucleador.
Passo 5
Calcular
com a fórmula do casquete:
Substituindo
:
Multiplicando:
Finalmente,
(Arredondei mantendo precisão suficiente para ver que
é muito próximo de
.)
Passo 6
Calcular a razão pedida e a diferença percentual.
Razão:
Diferença percentual (quanto, em porcentagem, a barreira homogênea é maior que a heterogênea):
Interpretação curta e animadora: a presença do agente nucleador com os valores de energias dadas praticamente não reduz a barreira — a nucleação heterogênea tem quase a mesma barreira que a homogênea, porque o ângulo de contato é grande (o agente não “molha” bem o sólido).
Resposta
A barreira homogênea é cerca de
maior que a barreira heterogênea.