De quanto abaixo da temperatura de fusão,
, deve ser resfriado o cobre líquido antes que uma partícula sólida de cobre possa crescer se o diâmetro da partícula é
Passo 1
O enunciado pergunta: “De quanto abaixo da temperatura de fusão,
, deve ser resfriado o cobre líquido antes que uma partícula sólida de cobre possa crescer, se o diâmetro da partícula é
?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
- Diâmetro da partícula sólida:
.
Informações físicas necessárias (valores padrão usados aqui; são propriedades do cobre):
- Temperatura de fusão do cobre:
. - Energia interfacial sólido–líquido (tensão de interface):
(valor típico da literatura; é uma aproximação). - Densidade do cobre sólido (próxima ao ponto de fusão):
. - Calor latente de fusão (por unidade de massa):
.
O que se pede numericamente: a depressão de temperatura
necessária para que uma partícula sólida de raio correspondente ao diâmetro dado comece a crescer (ou seja, quanto abaixo de
o líquido deve estar).
Passo 2
Princípio físico e fórmula a usar (explicação didática):
Quando uma pequena partícula sólida existe num líquido, a curvatura da interface sólido–líquido modifica o equilíbrio térmico: superfícies convexas para o sólido têm um ponto de fusão ligeiramente reduzido em relação ao sólido plano. Esse efeito é descrito pela relação de Gibbs–Thomson. A forma prática usada é
Quando uma pequena partícula sólida existe num líquido, a curvatura da interface sólido–líquido modifica o equilíbrio térmico: superfícies convexas para o sólido têm um ponto de fusão ligeiramente reduzido em relação ao sólido plano. Esse efeito é descrito pela relação de Gibbs–Thomson. A forma prática usada é
onde
-
é a depressão de temperatura (quanto abaixo de é necessário), -
é a energia interfacial sólido–líquido (unidade ), -
é a temperatura de fusão do sólido em superfície plana (unidade ), -
é a densidade do sólido (unidade ), -
é o calor latente de fusão por unidade de massa (unidade ), -
é o raio da partícula (unidade ).
Comentário curto: a fórmula vem de igualar os potenciais químicos levando em conta a energia de superfície; o fator
expressa o acréscimo de energia por unidade de volume devido à curvatura, e dividir por
converte isso em temperatura por causa da energia envolvida na fusão.
Passo 3
Converter o diâmetro em raio e em unidades SI:
- Diâmetro dado:
. - Raio:
Passo 4
Calcular o produto
(calor volumétrico de fusão), com unidades
:
Fazendo a multiplicação:
Passo 5
Calcular o numerador
:
Primeiro
. Então
Passo 6
Calcular o denominador
e finalmente
:
Agora
Passo 7
Interpretação e comentários sobre precisão:
- O resultado numérico é
. Ou seja, o cobre líquido precisa ser resfriado cerca de meio kelvin abaixo de para que uma partícula sólida de diâmetro cresça espontaneamente, segundo a relação de Gibbs–Thomson com os valores usados. - Observação importante:
foi tomada como um valor típico da literatura; se for diferente, escala diretamente com . Assim, a ordem de grandeza (algumas décimas de kelvin) é robusta, mas o valor exato tem pequena incerteza. - Conclusão física intuitiva: partículas pequenas exigem maior sub-resfriamento para crescer (porque a curvatura desfavorece a fase sólida); para partículas micrométricas o sub-resfriamento necessário é muito pequeno.