De quanto abaixo da temperatura de fusão, T_{f}, deve ser resfriado o cobre líquido antes que uma partícula sólida de cobre possa crescer se o diâmetro da partícula é 1 \mu \mathrm{~m}

Passo 1

O enunciado pergunta: “De quanto abaixo da temperatura de fusão, T_{f}, deve ser resfriado o cobre líquido antes que uma partícula sólida de cobre possa crescer, se o diâmetro da partícula é 1\\ \mu\mathrm{m}?”
Informações fornecidas pelo enunciado:
  • Diâmetro da partícula sólida: 1\\ \mu\mathrm{m}.
Informações físicas necessárias (valores padrão usados aqui; são propriedades do cobre):
  • Temperatura de fusão do cobre: T_{f}=1358\\ \mathrm{K}.
  • Energia interfacial sólido–líquido (tensão de interface): \gamma_{sl}\approx0{,}177\\ \mathrm{J\,m^{-2}} (valor típico da literatura; é uma aproximação).
  • Densidade do cobre sólido (próxima ao ponto de fusão): \rho_{s}=8960\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}.
  • Calor latente de fusão (por unidade de massa): L_{f}=205\times10^{3}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}}.
O que se pede numericamente: a depressão de temperatura \Delta T=T_{f}-T_{\text{eq}} necessária para que uma partícula sólida de raio correspondente ao diâmetro dado comece a crescer (ou seja, quanto abaixo de T_f o líquido deve estar).

Passo 2

Princípio físico e fórmula a usar (explicação didática):
Quando uma pequena partícula sólida existe num líquido, a curvatura da interface sólido–líquido modifica o equilíbrio térmico: superfícies convexas para o sólido têm um ponto de fusão ligeiramente reduzido em relação ao sólido plano. Esse efeito é descrito pela relação de Gibbs–Thomson. A forma prática usada é
\Delta T \;=\; T_{f}-T_{\text{eq}} \;=\; \frac{2\,\gamma_{sl}\,T_{f}}{\rho_{s}\,L_{f}\,r},
onde
  • \Delta T é a depressão de temperatura (quanto abaixo de T_{f} é necessário),
  • \gamma_{sl} é a energia interfacial sólido–líquido (unidade \mathrm{J\,m^{-2}}),
  • T_{f} é a temperatura de fusão do sólido em superfície plana (unidade \mathrm{K}),
  • \rho_{s} é a densidade do sólido (unidade \mathrm{kg\,m^{-3}}),
  • L_{f} é o calor latente de fusão por unidade de massa (unidade \mathrm{J\,kg^{-1}}),
  • r é o raio da partícula (unidade \mathrm{m}).
Comentário curto: a fórmula vem de igualar os potenciais químicos levando em conta a energia de superfície; o fator 2\gamma_{sl}/(r) expressa o acréscimo de energia por unidade de volume devido à curvatura, e dividir por \rho_s L_f converte isso em temperatura por causa da energia envolvida na fusão.

Passo 3

Converter o diâmetro em raio e em unidades SI:
  • Diâmetro dado: 1\\ \mu\mathrm{m}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{m}.
  • Raio: r=\dfrac{1\times10^{-6}}{2}=0{,}5\times10^{-6}\\ \mathrm{m}=5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Calcular o produto \rho_{s}L_{f} (calor volumétrico de fusão), com unidades \mathrm{J\,m^{-3}}:
\rho_{s}L_{f} = 8960\\ \mathrm{kg\,m^{-3}}\times 205\times10^{3}\\ \mathrm{J\,kg^{-1}} = 8960\times205000\\ \mathrm{J\,m^{-3}}.
Fazendo a multiplicação:
8960\times205000 = 1{,}8368\times10^{9}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}.

Passo 5

Calcular o numerador 2\,\gamma_{sl}\,T_{f}:
2\,\gamma_{sl}\,T_{f} = 2\times0{,}177\\ \mathrm{J\,m^{-2}}\times1358\\ \mathrm{K}.
Primeiro 2\times0{,}177 = 0{,}354. Então
0{,}354\times1358 = 480{,}732\\ (\text{unidade: }\mathrm{J\,m^{-2}\,K}).

Passo 6

Calcular o denominador \rho_{s}L_{f}\,r e finalmente \Delta T:
\rho_{s}L_{f}\,r = 1{,}8368\times10^{9}\\ \mathrm{J\,m^{-3}}\times 5{,}0\times10^{-7}\\ \mathrm{m} = 918{,}4\\ \mathrm{J\,m^{-2}}.
Agora
\Delta T = \frac{480{,}732}{918{,}4} \approx 0{,}5236\\ \mathrm{K}.

Passo 7

Interpretação e comentários sobre precisão:
  • O resultado numérico é \Delta T\approx0{,}52\\ \mathrm{K}. Ou seja, o cobre líquido precisa ser resfriado cerca de meio kelvin abaixo de T_{f} para que uma partícula sólida de diâmetro 1\\ \mu\mathrm{m} cresça espontaneamente, segundo a relação de Gibbs–Thomson com os valores usados.
  • Observação importante: \gamma_{sl} foi tomada como um valor típico da literatura; se \gamma_{sl} for diferente, \Delta T escala diretamente com \gamma_{sl}. Assim, a ordem de grandeza (algumas décimas de kelvin) é robusta, mas o valor exato tem pequena incerteza.
  • Conclusão física intuitiva: partículas pequenas exigem maior sub-resfriamento para crescer (porque a curvatura desfavorece a fase sólida); para partículas micrométricas o sub-resfriamento necessário é muito pequeno.

Resposta

\Delta T \approx 0{,}52\\ \mathrm{K}

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