Calcule o quociente das diferenças para cada função dada e simplifique sua resposta
Se f(x)=x^{3} ; \frac{f(1+h)-f(1)}{h}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o quociente das diferenças
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}
para a função f definida por f(x)=x^{3}. Informações dadas e observações iniciais:
  • f(x)=x^{3}.
  • Avaliar f em x=1+h e em x=1.
  • h é um incremento pequeno; temos que h\neq0 porque vamos dividir por h.

Passo 2

Calcular f(1+h). Substituindo x=1+h em f(x)=x^{3} obtemos
f(1+h)=(1+h)^{3}.

Passo 3

Calcular f(1). Substituindo x=1 em f(x)=x^{3} obtemos
f(1)=1^{3}=1.

Passo 4

Substituir f(1+h) e f(1) no quociente das diferenças:
\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{(1+h)^{3}-1}{h}.

Passo 5

Expandir (1+h)^{3}. Pelo binômio de Newton ou pela multiplicação direta:
(1+h)^{3}=1+3h+3h^{2}+h^{3}.

Passo 6

Substituir a expansão no numerador e simplificar:
\frac{(1+h)^{3}-1}{h}=\frac{1+3h+3h^{2}+h^{3}-1}{h}=\frac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h}.

Passo 7

Fatorar h no numerador e cancelar com o denominador (lembrando que h\neq0):
\frac{3h+3h^{2}+h^{3}}{h}=\frac{h(3+3h+h^{2})}{h}=3+3h+h^{2}.

Resposta

\,3+3h+h^{2}

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