Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
Passo 1
O enunciado pede três coisas para a função
:
- Construir o gráfico de
. - Dizer o conjunto imagem (intervalo de valores que
assume). - Dizer o domínio de
. - Dizer o período de
.
Informações dadas no enunciado:
- A função é
.
Passo 2
Vamos lembrar, de forma bem direta e prática, as propriedades da função seno que precisamos para transformar e desenhar o gráfico:
- A função básica
tem domínio , imagem e período . - Uma função da forma
é obtida a partir de por transformações: -
(amplitude): estica/encolhe verticalmente e, se , inverte verticalmente. A amplitude é . -
: altera o período. O novo período é . -
: deslocamento horizontal (fase). -
: deslocamento vertical (linha média).
-
- Para achar a imagem (intervalo) de
usamos que , daí (se pode ser negativo, o intervalo se inverte, mas o módulo é o mesmo), e somando obtemos .
Vou aplicar essas ideias com calma para
.
Passo 3
Identificar os parâmetros da forma
comparando com
.
-
. Interpretação: amplitude e como há uma reflexão (inversão vertical) em relação à linha média. -
. Interpretação: não há compressão/esticamento horizontal — o período será o padrão dividido por . -
. Interpretação: não há deslocamento horizontal (nenhuma fase). -
. Interpretação: a linha média (ou deslocamento vertical) é .
Resumo das transformações: partir de
, primeiro aplicar reflexão vertical e esticar verticalmente por um fator
(porque coeficiente
), depois deslocar verticalmente para cima em
unidades.
Passo 4
Determinar o domínio.
A função seno é definida para todo
e as operações lineares sobre ela não restringem o domínio. Portanto:
- Domínio:
(todos os números reais).
Passo 5
Determinar a imagem (intervalo de valores).
Usando que
, substituímos em
.
Calculemos os extremos:
Portanto a imagem (intervalo) é
Explicação em palavras: a linha média é
e a amplitude é
, então o gráfico varia de
até
.
Passo 6
Determinar o período.
Para
, o período é
. Aqui
, logo o período é
Passo 7
Encontrar pontos-chave em um período típico (por exemplo,
de
a
) para facilitar o desenho.
Usamos a sequência de pontos para
: em
os valores de
são
. Substituindo em
obtemos:
- Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: . - Em
: .
Observe a ordem de valores:
(em
), depois desce até
(em
), volta a
(em
), sobe até
(em
), volta a
(em
). Isso confirma a inversão vertical causada por
: o ponto que seria máximo para
(em
) virou mínimo em
.
Passo 8
Localizar máximos, mínimos e cruzamentos importantes (fatos úteis para o desenho e para a prova).
- Linha média:
. O gráfico cruza a linha média quando , isto é, em com . Nestes pontos . - Máximos: ocorrem quando
(por causa do sinal negativo). Assim máximos em - Mínimos: ocorrem quando
. Assim mínimos em - Zeros (pontos onde
): resolver . Logo Esses valores não são ângulos notáveis; basta saber que existem duas soluções por período.
Passo 9
Como desenhar o gráfico passo a passo (método direto que dá certo na prova sem calculadora):
- Desenhe a linha média
tracejada. - Marque acima e abaixo da linha média a distância da amplitude
: pontos (topo) e (base). - Marque no eixo
os pontos (um período). - Coloque os pontos calculados:
, , , , . - Una esses pontos com uma curva suave senoidal, lembrando que a curva é contínua e com derivadas suaves (sem pontas).
- Repita o padrão para os períodos subsequentes (periodicidade
) para a esquerda e para a direita.
Dica de interpretação: por causa de
, o gráfico começa em
na linha média e inicialmente desce (em vez de subir como
normal).
Passo 10
Resumo final dos resultados principais que o enunciado pediu (pronto para conferir rápido na prova):
- Domínio:
. - Imagem:
. - Período:
. - Amplitude:
. - Linha média:
. - Máximos:
em . - Mínimos:
em .
Resposta
Domínio:
Imagem:
Período:
Imagem:
Período: