Construir os gráficos das seguintes funções periódicas. Diga, o conjunto imagem, o domínio e o período de cada.
g(x)=2-3 \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede três coisas para a função g(x)=2-3\operatorname{sen} x:
  • Construir o gráfico de g.
  • Dizer o conjunto imagem (intervalo de valores que g assume).
  • Dizer o domínio de g.
  • Dizer o período de g.
Informações dadas no enunciado:
  • A função é g(x)=2-3\operatorname{sen} x.

Passo 2

Vamos lembrar, de forma bem direta e prática, as propriedades da função seno que precisamos para transformar e desenhar o gráfico:
  • A função básica \operatorname{sen} x tem domínio \mathbb{R}, imagem [-1,1] e período 2\pi.
  • Uma função da forma A\operatorname{sen}(Bx-C)+D é obtida a partir de \operatorname{sen} x por transformações:
    • A (amplitude): estica/encolhe verticalmente e, se A<0, inverte verticalmente. A amplitude é |A|.
    • B: altera o período. O novo período é \dfrac{2\pi}{|B|}.
    • C: deslocamento horizontal (fase).
    • D: deslocamento vertical (linha média).
  • Para achar a imagem (intervalo) de A\operatorname{sen}(\cdot)+D usamos que \operatorname{sen} x\in[-1,1], daí A\operatorname{sen} x\in[-|A|,|A|] (se A pode ser negativo, o intervalo se inverte, mas o módulo é o mesmo), e somando D obtemos [D-|A|,\,D+|A|].
Vou aplicar essas ideias com calma para g(x)=2-3\operatorname{sen} x.

Passo 3

Identificar os parâmetros da forma A\operatorname{sen}(Bx-C)+D comparando com g(x)=2-3\operatorname{sen} x.
  • A = -3. Interpretação: amplitude |A|=3 e como A<0 há uma reflexão (inversão vertical) em relação à linha média.
  • B = 1. Interpretação: não há compressão/esticamento horizontal — o período será o padrão dividido por |B|.
  • C = 0. Interpretação: não há deslocamento horizontal (nenhuma fase).
  • D = 2. Interpretação: a linha média (ou deslocamento vertical) é y=2.
Resumo das transformações: partir de \operatorname{sen} x, primeiro aplicar reflexão vertical e esticar verticalmente por um fator 3 (porque coeficiente -3), depois deslocar verticalmente para cima em 2 unidades.

Passo 4

Determinar o domínio.
A função seno é definida para todo x\in\mathbb{R} e as operações lineares sobre ela não restringem o domínio. Portanto:
  • Domínio: \mathbb{R} (todos os números reais).

Passo 5

Determinar a imagem (intervalo de valores).
Usando que \operatorname{sen} x\in[-1,1], substituímos em g(x)=2-3\operatorname{sen} x.
Calculemos os extremos:
\text{quando } \operatorname{sen} x = 1:\quad g = 2-3\cdot 1 = 2-3 = -1,
\text{quando } \operatorname{sen} x = -1:\quad g = 2-3\cdot(-1) = 2+3 = 5.
Portanto a imagem (intervalo) é
[-1,\,5].
Explicação em palavras: a linha média é y=2 e a amplitude é 3, então o gráfico varia de 2-3=-1 até 2+3=5.

Passo 6

Determinar o período.
Para A\operatorname{sen}(Bx-C)+D, o período é \dfrac{2\pi}{|B|}. Aqui B=1, logo o período é
\frac{2\pi}{1}=2\pi.

Passo 7

Encontrar pontos-chave em um período típico (por exemplo, x de 0 a 2\pi) para facilitar o desenho.
Usamos a sequência de pontos para \operatorname{sen} x: em x=0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi os valores de \operatorname{sen} x são 0,1,0,-1,0. Substituindo em g(x)=2-3\operatorname{sen} x obtemos:
  • Em x=0: \operatorname{sen} 0=0 \Rightarrow g(0)=2-3\cdot 0=2.
  • Em x=\tfrac{\pi}{2}: \operatorname{sen}\!\tfrac{\pi}{2}=1 \Rightarrow g\!\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2-3\cdot1=-1.
  • Em x=\pi: \operatorname{sen}\pi=0 \Rightarrow g(\pi)=2.
  • Em x=\tfrac{3\pi}{2}: \operatorname{sen}\!\tfrac{3\pi}{2}=-1 \Rightarrow g\!\bigl(\tfrac{3\pi}{2}\bigr)=2-3\cdot(-1)=5.
  • Em x=2\pi: \operatorname{sen} 2\pi=0 \Rightarrow g(2\pi)=2.
Observe a ordem de valores: 2 (em 0), depois desce até -1 (em \tfrac{\pi}{2}), volta a 2 (em \pi), sobe até 5 (em \tfrac{3\pi}{2}), volta a 2 (em 2\pi). Isso confirma a inversão vertical causada por A=-3: o ponto que seria máximo para \operatorname{sen} x (em \tfrac{\pi}{2}) virou mínimo em g.

Passo 8

Localizar máximos, mínimos e cruzamentos importantes (fatos úteis para o desenho e para a prova).
  • Linha média: y=2. O gráfico cruza a linha média quando \operatorname{sen} x=0, isto é, em x=k\pi com k\in\mathbb{Z}. Nestes pontos g(k\pi)=2.
  • Máximos: ocorrem quando \operatorname{sen} x=-1 (por causa do sinal negativo). Assim máximos em x = \frac{3\pi}{2}+2k\pi,\qquad g\bigl(\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\bigr)=5.
  • Mínimos: ocorrem quando \operatorname{sen} x=1. Assim mínimos em x = \frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad g\bigl(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi\bigr)=-1.
  • Zeros (pontos onde g(x)=0): resolver 2-3\operatorname{sen} x=0\Rightarrow \operatorname{sen} x=\tfrac{2}{3}. Logo x=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2k\pi \quad\text{ou}\quad x=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2k\pi.Esses valores não são ângulos notáveis; basta saber que existem duas soluções por período.

Passo 9

Como desenhar o gráfico passo a passo (método direto que dá certo na prova sem calculadora):
  1. Desenhe a linha média y=2 tracejada.
  2. Marque acima e abaixo da linha média a distância da amplitude 3: pontos y=5 (topo) e y=-1 (base).
  3. Marque no eixo x os pontos 0,\\ \tfrac{\pi}{2},\\ \pi,\\ \tfrac{3\pi}{2},\\\ 2\pi (um período).
  4. Coloque os pontos calculados: (0,2), (\tfrac{\pi}{2},-1), (\pi,2), (\tfrac{3\pi}{2},5), (2\pi,2).
  5. Una esses pontos com uma curva suave senoidal, lembrando que a curva é contínua e com derivadas suaves (sem pontas).
  6. Repita o padrão para os períodos subsequentes (periodicidade 2\pi) para a esquerda e para a direita.
Dica de interpretação: por causa de A<0, o gráfico começa em x=0 na linha média e inicialmente desce (em vez de subir como \operatorname{sen} x normal).

Passo 10

Resumo final dos resultados principais que o enunciado pediu (pronto para conferir rápido na prova):
  • Domínio: \mathbb{R}.
  • Imagem: [-1,\,5].
  • Período: 2\pi.
  • Amplitude: 3.
  • Linha média: y=2.
  • Máximos: g=5 em x=\tfrac{3\pi}{2}+2k\pi.
  • Mínimos: g=-1 em x=\tfrac{\pi}{2}+2k\pi.

Resposta

Domínio: \mathbb{R}
Imagem: [-1,\,5]
Período: 2\pi

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