Calcule os raios de convergência das seguintes séries:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{z^{n}}{e^{n}}

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{z^{n}}{e^{n}}
em torno de 0. Queremos determinar o raio de convergência R dessa série. Para isso, vamos usar o teste da raiz, que diz que se
L \;=\;\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|a_n\,z^n\bigr|}
então a série converge quando L<1. Aqui a_n=\frac1{e^n}.

Passo 2

Aplicando o teste da raiz, temos
\sqrt[n]{\Bigl|\frac{z^n}{e^n}\Bigr|} \;=\;\frac{|z|}{e}.
O limite quando n\to\infty é
\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\Bigl|\frac{z^n}{e^n}\Bigr|} \;=\;\frac{|z|}{e}.
Para que a série convirja, precisamos de
\frac{|z|}{e}<1 \quad\Longrightarrow\quad |z|<e.
Isso mostra que o raio de convergência é e.

Resposta

O raio de convergência é e.

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