Calcule as raízes abaixo sem usar calculadora. Dica: se necessário, fatore algum número.
\sqrt[4]{81}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \sqrt[4]{81}.
Informação dada: o radicando é \,81 e o índice da raiz é \,4 (quarta raiz).

Passo 2

O que significa \sqrt[4]{a}?
Definição: \sqrt[4]{a} é o número não negativo b tal que b^{4}=a, quando a\ge 0. Em outras palavras, a quarta raiz principal de a é o número b\ge 0 cujo quarto potência é a.
Observação útil: se estivermos resolvendo a equação x^{4}=a então as soluções reais são x=\pm b quando b^{4}=a, mas o símbolo \sqrt[4]{a} representa especificamente o valor não negativo b.

Passo 3

Fatore o número \,81 para ver se é uma potência inteira fácil de reconhecer.
Começando: \,81 = 9\cdot 9.
Como \,9 = 3^{2}, temos
81 = 9\cdot 9 = (3^{2})\cdot(3^{2}) = 3^{2+2} = 3^{4}.

Passo 4

Agora aplique a propriedade da raiz: se 81=3^{4}, então a quarta raiz principal de 81 é a quarta raiz principal de 3^{4}. Ou seja,
\sqrt[4]{81}=\sqrt[4]{3^{4}}.
Para potência e raiz com o mesmo índice vale, no caso de base positiva,
\sqrt[4]{3^{4}}=3.
(Aqui a igualdade é direta porque 3\ge 0 e 3^{4}=81. Se a base fosse negativa, a raiz principal de índice par envolveria valor positivo — em geral \sqrt[n]{x^{n}}=|x| para n par.)

Passo 5

Comentário final didático/encorajador: portanto a quarta raiz principal de \,81 é 3. Se a pergunta fosse resolver a equação x^{4}=81, as soluções reais seriam x=3 e x=-3. Mas o símbolo \sqrt[4]{81} indica o valor não negativo, isto é 3. Vai dar tudo certo na prova — você já resolveu um pedacinho importante!

Resposta

3

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