Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o resíduo da função
no ponto
.
Informações relevantes dadas no enunciado:
- A função é
. - O ponto em que queremos o resíduo é
. - Observação imediata: o denominador z anula-se em
, então é uma singularidade isolada de (precisaremos identificar seu tipo e o resíduo).
Passo 2
O que é o resíduo e como encontrá-lo (explicação didática passo a passo).
Definição prática: o resíduo de uma função
num ponto
é o coeficiente
do termo
na expansão de Laurent de
ao redor de
. Ou seja, se
então o resíduo é
.
Fórmula rápida para polo simples: se
é um polo simples de
, então
Motivo curto e intuitivo: na série de Laurent o único termo que sobrevive ao multiplicar por
e fazer
é exatamente
.
Passo 3
Método 1 — usar a série de Taylor/Laurent de
.
A série de Taylor de
centrad a em
é
Dividindo essa série por
obtemos a expansão de Laurent de
ao redor de
:
Na forma de Laurent, o termo com
é
. Logo o coeficiente
é
. Pelo significado do resíduo como esse coeficiente, o resíduo em
é
.
Passo 4
Método 2 — usar a fórmula do polo simples (verificação rápida).
Primeiro, justificar que
é um polo simples:
é analítica em
e
tem zero de ordem
em
, logo a singularidade é um polo de ordem
(polo simples).
Aplicando a fórmula para polo simples:
Isso confirma o resultado obtido pelo desenvolvimento em série.
Passo 5
Dica prática para a prova (resumindo e encorajando): quando tiver uma função do tipo
, o resíduo costuma ser simplesmente o valor da parte analítica em
. Use a série quando quiser visualização ou a fórmula do polo simples para cálculo rápido. Você tá indo bem — esse é um exemplo clássico e rápido de resolver no exame.