Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos z_{0}.
f(z)=\frac{e^{z}}{z}, \quad z_{0}=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o resíduo da função f(z)=\dfrac{e^{z}}{z} no ponto z_{0}=0.
Informações relevantes dadas no enunciado:
  • A função é f(z)=\dfrac{e^{z}}{z}.
  • O ponto em que queremos o resíduo é z_{0}=0.
  • Observação imediata: o denominador z anula-se em z=0, então z=0 é uma singularidade isolada de f (precisaremos identificar seu tipo e o resíduo).

Passo 2

O que é o resíduo e como encontrá-lo (explicação didática passo a passo).
Definição prática: o resíduo de uma função f num ponto z_0 é o coeficiente a_{-1} do termo (z-z_0)^{-1} na expansão de Laurent de f ao redor de z_0. Ou seja, se
f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n (z-z_0)^n
então o resíduo é a_{-1}.
Fórmula rápida para polo simples: se z_0 é um polo simples de f, então
\operatorname{Res}(f,z_0)=\lim_{z\to z_0} (z-z_0)\,f(z).
Motivo curto e intuitivo: na série de Laurent o único termo que sobrevive ao multiplicar por (z-z_0) e fazer z\to z_0 é exatamente a_{-1}.

Passo 3

Método 1 — usar a série de Taylor/Laurent de e^{z}.
A série de Taylor de e^{z} centrad a em 0 é
e^{z}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^{n}}{n!}=1+z+\frac{z^{2}}{2!}+\frac{z^{3}}{3!}+\cdots.
Dividindo essa série por z obtemos a expansão de Laurent de f(z) ao redor de 0:
\frac{e^{z}}{z}=\frac{1}{z}+1+\frac{z}{2!}+\frac{z^{2}}{3!}+\cdots.
Na forma de Laurent, o termo com (z-0)^{-1} é \dfrac{1}{z}. Logo o coeficiente a_{-1} é 1. Pelo significado do resíduo como esse coeficiente, o resíduo em 0 é 1.

Passo 4

Método 2 — usar a fórmula do polo simples (verificação rápida).
Primeiro, justificar que z=0 é um polo simples: e^{z} é analítica em 0 e z tem zero de ordem 1 em 0, logo a singularidade é um polo de ordem 1 (polo simples).
Aplicando a fórmula para polo simples:
\operatorname{Res}\bigl(f,0\bigr)=\lim_{z\to0} z\cdot\frac{e^{z}}{z}=\lim_{z\to0} e^{z}=e^{0}=1.
Isso confirma o resultado obtido pelo desenvolvimento em série.

Passo 5

Dica prática para a prova (resumindo e encorajando): quando tiver uma função do tipo \dfrac{\text{analítica}}{(z-z_0)}í, o resíduo costuma ser simplesmente o valor da parte analítica em z_0. Use a série quando quiser visualização ou a fórmula do polo simples para cálculo rápido. Você tá indo bem — esse é um exemplo clássico e rápido de resolver no exame.

Resposta

1

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