Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos z_{0}.
\mathrm{f}(\mathrm{z})=\frac{2}{\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)^{2}}, \quad \mathrm{z}_{0}=\mathrm{i}

Passo 1

O enunciado dá a função e o ponto onde se pede o resíduo:
  • Função: f(z)=\dfrac{2}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}.
  • Ponto pedido: z_{0}=\mathrm{i}.
O que se pede: calcular o resíduo de f em z_{0}=\mathrm{i}, isto é \operatorname{Res}(f,\mathrm{i}).

Passo 2

Identificar o tipo de singularidade em z=\mathrm{i}. Primeiro fatoramos o denominador:
z^{2}+1=(z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i}),
portanto
\left(z^{2}+1\right)^{2}=(z-\mathrm{i})^{2}(z+\mathrm{i})^{2}.
Logo z=\mathrm{i} é um polo de ordem 2 (polo duplo), porque o fator (z-\mathrm{i}) aparece com potência 2 no denominador.
Explicação curta: um polo de ordem m em z_{0} significa que, perto de z_{0}, a função tem um comportamento como (z-z_{0})^{-m} (ou seja, diverge como essa potência).

Passo 3

Usar a fórmula prática para resíduo em polo de ordem m. Para um polo de ordem m em z_{0},
\operatorname{Res}(f,z_{0})=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z\to z_{0}}\frac{d^{\,m-1}}{dz^{\,m-1}}\Big[(z-z_{0})^{m}f(z)\Big].
No nosso caso m=2, então
\operatorname{Res}(f,\mathrm{i})=\lim_{z\to \mathrm{i}}\frac{d}{dz}\Big[(z-\mathrm{i})^{2}f(z)\Big].
Breve intuição: multiplicar por (z-z_{0})^{m} cancela a singularidade mais forte e a derivada (de ordem m-1) extrai o coeficiente da parte (z-z_{0})^{-1} na série de Laurent, que é exatamente o resíduo.

Passo 4

Calcular a função a ser derivada:
(z-\mathrm{i})^{2}f(z)=(z-\mathrm{i})^{2}\cdot\frac{2}{\big((z-\mathrm{i})(z+\mathrm{i})\big)^{2}} =\frac{2}{(z+\mathrm{i})^{2}}.
Explicação da conta: ao multiplicar por (z-\mathrm{i})^{2} cancela-se o fator (z-\mathrm{i})^{2} no denominador, sobrando (z+\mathrm{i})^{2}.

Passo 5

Derivar a expressão obtida:
\frac{d}{dz}\left(\frac{2}{(z+\mathrm{i})^{2}}\right) =2\cdot\frac{d}{dz}\big((z+\mathrm{i})^{-2}\big) =2\cdot(-2)(z+\mathrm{i})^{-3} =-\frac{4}{(z+\mathrm{i})^{3}}.
Aqui foi usada a regra da potência: \dfrac{d}{dz}(z+\mathrm{i})^{n}=n(z+\mathrm{i})^{n-1}.

Passo 6

Avaliar o limite em z\to\mathrm{i}:
\operatorname{Res}(f,\mathrm{i})=\left.-\frac{4}{(z+\mathrm{i})^{3}}\right|_{z=\mathrm{i}} =-\frac{4}{(\mathrm{i}+\mathrm{i})^{3}}=-\frac{4}{(2\mathrm{i})^{3}}.
Calcular (2\mathrm{i})^{3}=8\mathrm{i}^{3}. Como \mathrm{i}^{3}=\mathrm{i}^{2}\cdot\mathrm{i}=-1\cdot\mathrm{i}=-\mathrm{i}, temos (2\mathrm{i})^{3}=8(-\mathrm{i})=-8\mathrm{i}. Portanto
\operatorname{Res}(f,\mathrm{i})=-\frac{4}{-8\mathrm{i}}=\frac{1}{2\mathrm{i}}.
E simplificando \dfrac{1}{2\mathrm{i}}=-\dfrac{\mathrm{i}}{2} (porque \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}).

Passo 7

Interpretação final e incentivo: o resíduo no polo duplo foi encontrado aplicando a fórmula do resíduo para polos de ordem 2, fazendo uma derivada simples e avaliando em z=\mathrm{i}. Se ficou alguma conta confusa, releia os passos devagar e refaça a derivada e a substituição; com prática esse tipo de cálculo vira automático — dá pra encarar na prova!

Resposta

-\dfrac{\mathrm{i}}{2}

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