Calcule os resíduos das funções abaixo para os polos z_{0}. \mathrm{f}(\mathrm{z})=\frac{2}{\left(\mathrm{z}^{2}+1\right)^{2}}, \quad \mathrm{z}_{0}=\mathrm{i}
Passo 1
O enunciado dá a função e o ponto onde se pede o resíduo:
Função: f(z)=\dfrac{2}{\left(z^{2}+1\right)^{2}}.
Ponto pedido: z_{0}=\mathrm{i}.
O que se pede: calcular o resíduo de f em z_{0}=\mathrm{i}, isto é \operatorname{Res}(f,\mathrm{i}).
Passo 2
Identificar o tipo de singularidade em z=\mathrm{i}. Primeiro fatoramos o denominador:
Logo z=\mathrm{i} é um polo de ordem 2 (polo duplo), porque o fator (z-\mathrm{i}) aparece com potência 2 no denominador.
Explicação curta: um polo de ordem m em z_{0} significa que, perto de z_{0}, a função tem um comportamento como (z-z_{0})^{-m} (ou seja, diverge como essa potência).
Passo 3
Usar a fórmula prática para resíduo em polo de ordem m. Para um polo de ordem m em z_{0},
Breve intuição: multiplicar por (z-z_{0})^{m} cancela a singularidade mais forte e a derivada (de ordem m-1) extrai o coeficiente da parte (z-z_{0})^{-1} na série de Laurent, que é exatamente o resíduo.
E simplificando \dfrac{1}{2\mathrm{i}}=-\dfrac{\mathrm{i}}{2} (porque \dfrac{1}{\mathrm{i}}=-\mathrm{i}).
Passo 7
Interpretação final e incentivo: o resíduo no polo duplo foi encontrado aplicando a fórmula do resíduo para polos de ordem 2, fazendo uma derivada simples e avaliando em z=\mathrm{i}. Se ficou alguma conta confusa, releia os passos devagar e refaça a derivada e a substituição; com prática esse tipo de cálculo vira automático — dá pra encarar na prova!