Calcule o resultado das operações abaixo:
\frac{10+j 5+3 / 40^{\circ}}{-3+j 4}+10 / 30^{\circ}+j 5

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão
\frac{10+j5+3\;/\;40^{\circ}}{-3+j4}+10\;/\;30^{\circ}+j5.
Informações relevantes que temos:
\;10+j5\; é um número complexo em forma retangular.
\;3\;/\;40^{\circ}\; significa o número complexo em forma polar com módulo 3 e ângulo 40^{\circ}.
\;-3+j4\; é o denominador (forma retangular).
\;10\;/\;30^{\circ}\; é outro número em forma polar (módulo 10, ângulo 30^{\circ}).
Há um termo adicional \;j5\; somado ao final.
A tarefa é executar as operações (conversões, soma, divisão) e obter o resultado final como um número complexo.

Passo 2

Converter números em forma polar para a forma retangular (isso facilita soma e divisão). Regra:
r\;/\;\theta^\circ \longrightarrow r\cos\theta + j\,r\sin\theta,
onde r é o módulo e \theta é o ângulo em graus. Aplico isso aos dois termos polares.
Converter \;3\;/\;40^\circ:
3\;/\;40^\circ = 3\cos40^\circ + j\,3\sin40^\circ.
Usando valores trigonométricos (aproximações):
\cos40^\circ\approx 0{,}7660444431 e \sin40^\circ\approx 0{,}6427876097. Logo
3\;/\;40^\circ \approx 3\cdot0{,}7660444431 + j\,3\cdot0{,}6427876097 = 2{,}2981333294 + j\,1{,}9283628291.
Converter \;10\;/\;30^\circ:
10\;/\;30^\circ = 10\cos30^\circ + j\,10\sin30^\circ.
Sabemos exatamente \cos30^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}\approx0{,}8660254038 e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2}=0{,}5. Assim
10\;/\;30^\circ = 8{,}6602540378 + j\,5.

Passo 3

Somar os termos do numerador da fração:
10 + j5 + (3\;/\;40^\circ) \approx 10 + j5 + (2{,}2981333294 + j\,1{,}9283628291).
Somando parte real com real e parte imaginária com imaginária:
\text{numerador} \approx 12{,}2981333294 + j\,6{,}9283628291.

Passo 4

Fazer a divisão pela parte -3+j4. Para dividir complexos em forma retangular usamos o conjugado:
\frac{a+jb}{c+jd} = \frac{(a+jb)(c-jd)}{c^2+d^2}.
Aqui a=12{,}2981333294, b=6{,}9283628291, c=-3, d=4. Primeiro calculo c^2+d^2:
c^2+d^2 = (-3)^2 + 4^2 = 9+16 = 25.
Multiplico o numerador pelo conjugado c-jd = -3 - j4. Faço produto:
(12{,}2981333294 + j\,6{,}9283628291)(-3 - j4).
Calculemos parte real e imaginária separadamente usando
\text{Re} = a\cdot c - b\cdot d,\qquad \text{Im} = a\cdot(-d) + b\cdot c.
Substituindo:
\text{Re} = 12{,}2981333294\cdot(-3) - 6{,}9283628291\cdot4 = -36{,}8943999882 - 27{,}7134513164 = -64{,}6078513046.
(Observação: tomei cuidado com sinais; outra forma é lembrar que (a+jb)(c-jd)= (ac+bd) + j(bc-ad). Vou recalcular com essa forma para evitar confusão:)
Usando (a+jb)(c-jd):
\text{Re} = ac + bd = 12{,}2981333294\cdot(-3) + 6{,}9283628291\cdot(-4) = -36{,}8943999882 -27{,}7134513164 = -64{,}6078513046,
\text{Im} = bc - ad = 6{,}9283628291\cdot(-3) - 12{,}2981333294\cdot(-4) = -20{,}7850884873 +49{,}1925333176 = 28{,}4074448303.
Observei que havia duas formas; a correta com conjugado c-jd dá esses resultados. Agora divido por 25:
\frac{\text{numerador}\cdot(c-jd)}{25} \approx \frac{-64{,}6078513046 + j\,28{,}4074448303}{25}.
Portanto
\frac{10+j5+3\;/\;40^\circ}{-3+j4} \approx -2{,}5843140522 + j\,1{,}1362977932.

Passo 5

Agora somo os demais termos: já calculei \;10\;/\;30^\circ = 8{,}6602540378 + j5 e ainda há um +j5 final. Somando tudo:
\left(-2{,}5843140522 + j\,1{,}1362977932\right) + \left(8{,}6602540378 + j5\right) + j5.
Somando parte real:
-2{,}5843140522 + 8{,}6602540378 = 6{,}0759399856.
Somando parte imaginária:
1{,}1362977932 + 5 + 5 = 11{,}1362977932.
Portanto o resultado final em forma retangular é aproximadamente
6{,}0759399856 + j\,11{,}1362977932.

Passo 6

Vou revisar rapidamente os sinais e um ponto importante: na multiplicação pelo conjugado eu usei a forma (a+jb)(c-jd) = (ac+bd) + j(bc-ad). Se alguém usar a fórmula alternativa deve obter o mesmo resultado. Os valores trigonométricos foram aproximados; pequenas diferenças de arredondamento mudam as últimas casas decimais. Para uma resposta arredondada a três casas decimais:
6{,}076 + j\,11{,}136.

Resposta

6{,}0759399856 + j\,11{,}1362977932

Exercícios relacionados