Calcule o resultado das operações abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o valor da expressão
Informações relevantes que temos:
é um número complexo em forma retangular.
significa o número complexo em forma polar com módulo
e ângulo
.
é o denominador (forma retangular).
é outro número em forma polar (módulo
, ângulo
).
Há um termo adicional somado ao final.
A tarefa é executar as operações (conversões, soma, divisão) e obter o resultado final como um número complexo.
Há um termo adicional
A tarefa é executar as operações (conversões, soma, divisão) e obter o resultado final como um número complexo.
Passo 2
Converter números em forma polar para a forma retangular (isso facilita soma e divisão). Regra:
onde
é o módulo e
é o ângulo em graus. Aplico isso aos dois termos polares.
Converter
:
Usando valores trigonométricos (aproximações):
e
. Logo
Converter
:
Sabemos exatamente
e
. Assim
Passo 3
Somar os termos do numerador da fração:
Somando parte real com real e parte imaginária com imaginária:
Passo 4
Fazer a divisão pela parte
. Para dividir complexos em forma retangular usamos o conjugado:
Aqui
,
,
,
. Primeiro calculo
:
Multiplico o numerador pelo conjugado
. Faço produto:
Calculemos parte real e imaginária separadamente usando
Substituindo:
(Observação: tomei cuidado com sinais; outra forma é lembrar que
. Vou recalcular com essa forma para evitar confusão:)
Usando :
Usando
Observei que havia duas formas; a correta com conjugado
dá esses resultados. Agora divido por
:
Portanto
Passo 5
Agora somo os demais termos: já calculei
e ainda há um
final. Somando tudo:
Somando parte real:
Somando parte imaginária:
Portanto o resultado final em forma retangular é aproximadamente
Passo 6
Vou revisar rapidamente os sinais e um ponto importante: na multiplicação pelo conjugado eu usei a forma
. Se alguém usar a fórmula alternativa deve obter o mesmo resultado. Os valores trigonométricos foram aproximados; pequenas diferenças de arredondamento mudam as últimas casas decimais. Para uma resposta arredondada a três casas decimais: