Represente os fasores equivalentes para as senoides abaixo:
\begin{aligned} & i=6 \cos \left(50 t-40^{\circ}\right) \mathrm{A} \\\ & v=-4 \sin \left(30 t+50^{\circ}\right) \mathrm{V} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas senoides e pede que a gente represente os fasores equivalentes. As informações fornecidas são:
i = 6 \cos\left(50 t - 40^{\circ}\right)\\ \mathrm{A}
v = -4 \sin\left(30 t + 50^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}
Pergunta implícita que vamos responder: qual é o fasor (representação complexa em forma polar) correspondente a cada uma dessas senoides? Observação importante: as duas senoides têm frequências diferentes ( \omega_i = 50\\ \mathrm{rad/s} e \omega_v = 30\\ \mathrm{rad/s}), então cada fasor é associado à sua própria frequência angular.

Passo 2

O que é um fasor e como a gente o obtém (aulas rápidas e úteis):
  • Um fasor é a representação complexa (número complexo em forma polar) da amplitude e fase de uma senoide, assumindo a dependência temporal \cos(\omega t + \varphi) (ou \sin). O fasor guarda a amplitude e a fase e “esquece” o fator e^{j\omega t} (ou \cos(\omega t)) — esse fator é reintroduzido quando for necessário voltar ao tempo.
  • Convenção comum: se uma onda é \displaystyle A\cos(\omega t + \varphi), o fasor (forma de amplitude de pico) é \displaystyle \tilde{X} = A\angle \varphi. Aqui \tilde{X} é o número complexo em polar (módulo igual a A, argumento igual a \varphi).
  • Se preferirmos fasor em valor eficaz (RMS), dividimos a amplitude máxima por \sqrt{2}: \displaystyle X_{\mathrm{rms}}=\frac{A}{\sqrt{2}}\angle \varphi.
  • Conversões úteis: \sin(\theta)=\cos\left(\theta-90^{\circ}\right).E multiplicar por -1 equivale a adicionar 180^{\circ} na fase: -A\cos(\cdot)=A\cos(\cdot+180^{\circ}).

Passo 3

Fasor para i. A senoide já está numa forma \cos(\omega t + \varphi):
i = 6 \cos\left(50 t - 40^{\circ}\right)\\ \mathrm{A}.
  • Amplitude de pico: A_i = 6.
  • Fase: \varphi_i = -40^{\circ}.
  • Logo o fasor (amplitude de pico) é
\tilde{I} = 6\angle -40^{\circ}\\ \mathrm{A},
associado à frequência \omega = 50\\ \mathrm{rad/s}.
  • Se quisermos o fasor em valor RMS:
I_{\mathrm{rms}} = \frac{6}{\sqrt{2}}\angle -40^{\circ}\\ \mathrm{A}.

Passo 4

Fasor para v. A senoide está em forma de seno com um sinal negativo:
v = -4 \sin\left(30 t + 50^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}.
Vamos converter passo a passo para uma forma \cos(\omega t + \varphi), que é a convenção direta para fasores:
  1. Use \sin(\theta)=\cos(\theta-90^{\circ}). Então
\sin\left(30t+50^{\circ}\right)=\cos\left(30t+50^{\circ}-90^{\circ}\right)=\cos\left(30t-40^{\circ}\right).
  1. Substituindo em v:
v = -4\cos\left(30t-40^{\circ}\right).
  1. Trate o sinal negativo como adição de 180^{\circ} na fase:
-4\cos\left(30t-40^{\circ}\right)=4\cos\left(30t-40^{\circ}+180^{\circ}\right)=4\cos\left(30t+140^{\circ}\right).
Portanto a forma equivalente como cosseno é
v = 4\cos\left(30t+140^{\circ}\right)\\ \mathrm{V}.
  • Amplitude de pico: A_v = 4.
  • Fase: \varphi_v = 140^{\circ}.
  • Logo o fasor (amplitude de pico) é
\tilde{V} = 4\angle 140^{\circ}\\ \mathrm{V},
associado à frequência \omega = 30\\ \mathrm{rad/s}.
  • Em valor RMS:
V_{\mathrm{rms}} = \frac{4}{\sqrt{2}}\angle 140^{\circ}\\ \mathrm{V}.

Passo 5

Resumo didático rápido (para usar na prova):
  • Para converter \sin em \cos subtraia 90^{\circ} da fase.
  • Um sinal negativo muda a fase em 180^{\circ}.
  • Fasor em forma polar usa módulo = amplitude (ou RMS) e argumento = fase (em graus ou radianos), e está atrelado à frequência \omega do senoide.

Resposta

\displaystyle \tilde{I} = 6\angle -40^{\circ}\\ \mathrm{A} (pico), \displaystyle I_{\mathrm{rms}}=\frac{6}{\sqrt{2}}\angle -40^{\circ}\\ \mathrm{A}
\displaystyle \tilde{V} = 4\angle 140^{\circ}\\ \mathrm{V} (pico), \displaystyle V_{\mathrm{rms}}=\frac{4}{\sqrt{2}}\angle 140^{\circ}\\ \mathrm{V}

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