Calcule o resultado das operações abaixo:
\frac{5 \angle 30^{\circ} \times(5+j 5)}{10}+(1+j 4) \times(3-j 5)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão envolvendo números complexos em forma polar e retangular:
\frac{5 \angle 30^{\circ} \times (5 + j5)}{10} \;+\;(1 + j4)\times(3 - j5).
O conteúdo envolve conversão de forma polar para retangular, multiplicação e soma de números complexos.

Passo 2

Converter 5\angle30^{\circ} para a forma retangular usando \cos30^\circ = \frac{\sqrt3}{2} e \sin30^\circ = \frac12:
5\angle30^{\circ} = 5\bigl(\cos30^\circ + j\sin30^\circ\bigr) = \frac{5\sqrt3}{2} \;+\; j\,\frac{5}{2}.

Passo 3

Calcular o primeiro termo
\frac{5\angle30^{\circ}\,(5 + j5)}{10} =\frac{\bigl(\frac{5\sqrt3}{2}+j\frac{5}{2}\bigr)\,(5+j5)}{10}.
Multiplicando as retangulares e simplificando a divisão por 10 resulta em
\frac{5(\sqrt3-1)}{4}\;+\;j\,\frac{5(\sqrt3+1)}{4}.

Passo 4

Calcular o segundo termo
(1 + j4)\,(3 - j5) =(1\cdot3 - 4\cdot(-5)) + j\,(1\cdot(-5) + 4\cdot3) =23 + j7.

Passo 5

Somar os dois resultados:
\frac{5(\sqrt3-1)}{4} + 23 \;+\;j\Bigl(\frac{5(\sqrt3+1)}{4}+7\Bigr) =\frac{87+5\sqrt3}{4} \;+\; j\,\frac{33+5\sqrt3}{4}.

Resposta

\frac{87+5\sqrt3}{4} \;+\; j\,\frac{33+5\sqrt3}{4}.

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