Calcule a seguinte integral \int e^{\operatorname{sen} x} \cdot \cos (\operatorname{sen} x) \cdot \cos x d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int e^{\sin x}\,\cos(\sin x)\,\cos x\,dx.
O conteúdo aqui é substituição simples seguida de integração por partes.

Passo 2

Fazemos a substituição \,u=\sin x, logo \,du=\cos x\,dx. A integral transforma-se em
\int e^{u}\cos u\,du.

Passo 3

Denotamos
I = \int e^{u}\cos u\,du
e aplicamos integração por partes. Seja A=e^{u} e dB=\cos u\,du, então dA=e^{u}\,du e B=\sin u. Assim,
I = e^{u}\sin u \;-\;\int e^{u}\sin u\,du.
Para \int e^{u}\sin u\,du aplicamos partes de novo com C=e^{u} e dD=\sin u\,du, obtendo
\int e^{u}\sin u\,du = -\,e^{u}\cos u + \int e^{u}\cos u\,du = -\,e^{u}\cos u + I.
Substituindo de volta, vem
I = e^{u}\sin u \;-\;\bigl(-\,e^{u}\cos u + I\bigr) = e^{u}\sin u + e^{u}\cos u - I,
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2I = e^{u}\bigl(\sin u + \cos u\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{u}\bigl(\sin u + \cos u\bigr)}{2}.

Passo 4

Voltando a x com u=\sin x, obtemos
\int e^{\sin x}\cos(\sin x)\cos x\,dx = \frac{e^{\sin x}\bigl(\sin(\sin x)+\cos(\sin x)\bigr)}{2} + C.

Resposta

\frac{e^{\sin x}\bigl(\sin(\sin x)+\cos(\sin x)\bigr)}{2} + C.

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