Resolva os seguintes Problemas de Valor Inicial (PVIs):
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\operatorname{sec} ^{2} x, y(0)=1, y^{\prime}(1)=0;

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \operatorname{sec}^{2}x, \quad y(0)=1, \quad y'(1)=0.
O que vamos precisar é integrar duas vezes para obter y'(x) e y(x) e, em seguida, usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \operatorname{sec}^{2}x
em relação a x. Como \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x, obtemos a primeira integral
y'(x) = \tan x + C_1.

Passo 3

Agora integramos
y'(x) = \tan x + C_1
em relação a x. Sabendo que \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|, a solução geral fica
y(x) = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C_1\,x + C_2.

Passo 4

Usamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Ao impor y(0)=1:
y(0) = -\ln|\cos 0| + C_1\cdot0 + C_2 = -\ln1 + C_2 = C_2 = 1.
Ao impor y'(1)=0:
y'(1) = \tan 1 + C_1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 = -\tan 1.

Resposta

y(x) = -\ln\bigl|\cos x\bigr| \;-\; (\tan 1)\,x \;+\; 1.

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