O que vamos precisar é integrar duas vezes para obter y'(x) e y(x) e, em seguida, usar as condições iniciais para determinar as constantes de integração.
Passo 2
Integramos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \operatorname{sec}^{2}x
em relação a x. Como \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x, obtemos a primeira integral
y'(x) = \tan x + C_1.
Passo 3
Agora integramos
y'(x) = \tan x + C_1
em relação a x. Sabendo que \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|, a solução geral fica
y(x) = -\ln\bigl|\cos x\bigr| + C_1\,x + C_2.
Passo 4
Usamos as condições iniciais para achar C_1 e C_2.
Ao impor y(0)=1: