Calcule os seguintes comutadores

Passo 1

A questão pede para calcular os comutadores [J^2,Jy] e [J^2,Jz]. O conteúdo é operadores de momento angular, e vamos precisar da relação de comutação [Ji,Jj]=ihbarepsilonijkJk junto com a identidade geral de comutadores [A^2,B]=A,[A,B]+[A,B],A.

Passo 2

Pra começar, aplicamos a identidade em [J^2,Jy]=[Jx^2,Jy]+[Jy^2,Jy]+[Jz^2,Jy].
Usando [Ji,Jj]=ihbarepsilonijkJk temos:
[Jx^2,Jy]=Jx[Jx,Jy]+[Jx,Jy]Jx=ihbarl(JxJz+JzJxr),
[Jy^2,Jy]=0,
.

Passo 3

Somando esses três termos cancelam-se:\
i\hbar\bigl(J_{x}J_{z}+J_{z}J_{x}\bigr)-i\hbar\bigl(J_{z}J_{x}+J_{x}J_{z}\bigr)=0.
Logo [J^2,Jy]=0.
Pelo mesmo raciocínio (ou pela simetria entre y e z), obtemos também [J^2,Jz]=0.

Resposta

[J^2,Jy]=0 e [J^2,Jz]=0.

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