Construa as matrizes que representam os operadores J^2, J+, J-, Jx, Jy e Jz, na base |k, j, mrang<= para os casos j=3 e j=32

Passo 1

O enunciado pede para montar as matrizes dos operadores de momento angular total e seus componentes nas bases |k,j,m⟩ para j=3 (dimensão 2j+1=7) e j=3/2 (dimensão 4). Vamos usar as fórmulas padrão de mecânica quântica: os elementos de J^2 são j(j+1)δ_{mm’}; de J_z são mδ_{mm’}; de J_+ são ⟨m’|J_+|m⟩=√((j−m)(j+m+1))δ_{m’,m+1}; e J_-= (J_+)†. Em seguida montamos J_x=(J_++J_-)/2 e J_y=(J_+−J_-)/(2i).

Passo 2

Para j=3 (dimensão 7) aplicamos as fórmulas acima com m=3,2,1,0,−1,−2,−3 na ordem de base. O resultado é:
J^2=3(3+1),I7=12,I7
Jz=diag(3,2,1,0,-1,-2,-3)
J+= 0&raiz6&0&0&0&0&0 0&0&raiz10&0&0&0&0 0&0&0&raiz12&0&0&0 0&0&0&0&raiz12&0&0 0&0&0&0&0&raiz10&0 0&0&0&0&0&0&raiz6 0&0&0&0&0&0&0 , J-=J+^dag>=r
Jx=J++J-2, Jy=J+-J-2i

Passo 3

Para j=3/2 (dimensão 4) usamos m=3/2,1/2,−1/2,−3/2. Temos:
J^2=tfrac32(tfrac32+1),I4=tfrac154,I4
Jz=diagl(tfrac32,tfrac12,-tfrac12,-tfrac32r)
J+=0&raiz3&0&00&0&2&00&0&0&raiz30&0&0&0, J-=J+^dag>=r
Jx=J++J-2, Jy=J+-J-2i

Resposta

As matrizes dos operadores são:
Para j=3 (dimensão 7):
J^2=12,I7
Jz=diag(3,2,1,0,-1,-2,-3)
J+= 0&raiz6&0&0&0&0&0 0&0&raiz10&0&0&0&0 0&0&0&raiz12&0&0&0 0&0&0&0&raiz12&0&0 0&0&0&0&0&raiz10&0 0&0&0&0&0&0&raiz6 0&0&0&0&0&0&0 , J-=J+^dag>=r
Jx=J++J-2, Jy=J+-J-2i
Para j=3/2 (dimensão 4):
J^2=tfrac154,I4
Jz=diagl(tfrac32,tfrac12,-tfrac12,-tfrac32r)
J+= 0&raiz3&0&0 0&0&2&0 0&0&0&raiz3 0&0&0&0 , J-=J+^dag>=r
Jx=J++J-2, Jy=J+-J-2i

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