Construa as matrizes que representam os operadores
e
, na base
para os casos
e
Passo 1
O enunciado pede para montar as matrizes dos operadores de momento angular total e seus componentes nas bases |k,j,m⟩ para j=3 (dimensão 2j+1=7) e j=3/2 (dimensão 4). Vamos usar as fórmulas padrão de mecânica quântica: os elementos de J^2 são j(j+1)δ_{mm’}; de J_z são mδ_{mm’}; de J_+ são ⟨m’|J_+|m⟩=√((j−m)(j+m+1))δ_{m’,m+1}; e J_-= (J_+)†. Em seguida montamos J_x=(J_++J_-)/2 e J_y=(J_+−J_-)/(2i).
Passo 2
Para j=3 (dimensão 7) aplicamos as fórmulas acima com m=3,2,1,0,−1,−2,−3 na ordem de base. O resultado é:
Passo 3
Para j=3/2 (dimensão 4) usamos m=3/2,1/2,−1/2,−3/2. Temos:
Resposta
As matrizes dos operadores são:
Para j=3 (dimensão 7):
Para j=3/2 (dimensão 4):