Calcule as seguintes derivadas:
(c) Qual é a derivada da função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} definida por f(x)=\cos \left(5 x^{2}\right) ? (Dica: Use a regra da cadeia).

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f:\mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad f(x)=\cos\bigl(5x^2\bigr)
e pede a derivada f'(x). O conteúdo aqui é diferenciación de funções compostas, ou seja, a regra da cadeia.

Passo 2

Para aplicar a regra da cadeia, identificamos a parte interna e a parte externa da composição:
u(x)=5x^2 \quad\text{(função interna)}çã
g(u)=\cos(u) \quad\text{(função externa)}çã

Passo 3

Calculamos a derivada da função interna:
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(5x^2\bigr)=10x.

Passo 4

Agora usamos a regra da cadeia: se f(x)=g\bigl(u(x)\bigr), então
f'(x)=g'\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x).
Como g(u)=\cos(u), temos g'(u)=-\sin(u). Logo,
f'(x)=-\sin\bigl(u(x)\bigr)\cdot u'(x) =-\sin\bigl(5x^2\bigr)\cdot 10x.

Resposta

f'(x)=-10x\sin\bigl(5x^2\bigr).

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