Calcule as seguintes derivadas:
(d) Enuncie a regra do produto e dê um exemplo do uso dessa regra no cálculo da derivada de produto de funções.

Passo 1

O enunciado pede para enunciar a regra do produto e ilustrar seu uso com um exemplo de cálculo da derivada de um produto de funções. O conteúdo é a derivada de produto, e vamos usar o enunciado da regra do produto junto com um exemplo prático.

Passo 2

A regra do produto diz que, se f e g são funções deriváveis, então a derivada do produto h(x)=f(x)\,g(x) é dada por
h^\prime(x)=\bigl(f(x)\,g(x)\bigr)^\prime =f^\prime(x)\,g(x)+f(x)\,g^\prime(x).

Passo 3

Vamos aplicar a regra do produto em um exemplo simples. Escolhemos
f(x)=x^2,\quad g(x)=\sin x.
Então
f^\prime(x)=2x, \quad g^\prime(x)=\cos x,
e pelo enunciado da regra do produto
\bigl(x^2\sin x\bigr)^\prime =2x\cdot\sin x + x^2\cdot\cos x.

Resposta

Regra do produto: se h(x)=f(x)\,g(x), então
h^\prime(x)=f^\prime(x)\,g(x)+f(x)\,g^\prime(x).
Exemplo: para f(x)=x^2 e g(x)=\sin x,
\bigl(x^2\sin x\bigr)^\prime =2x\sin x + x^2\cos x.

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