Calcule as seguintes derivadas: f(x) = ln((x^2 - 1) / (x^2 + 5))

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui estamos trabalhando com cálculo, especificamente com derivadas de funções que envolvem logaritmos. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função dentro do logaritmo. A função está na forma de um logaritmo de um quociente, então podemos usar uma propriedade dos logaritmos que diz:
Aplicando isso, temos:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada parte separadamente. Lembre-se de que a derivada de em relação a é , onde é a derivada de com relação a .
Primeiro, derivamos :
Em seguida, derivamos :

Passo 4

Agora, juntamos as derivadas que encontramos. Lembre-se que a derivada de será a diferença das derivadas das partes:

Passo 5

Para simplificar, podemos colocar as frações sobre um denominador comum. O denominador comum entre e é . Assim:
Simplificando o numerador:

Passo 6

Substituindo de volta, temos:
Multiplicando os termos:

Resposta

A derivada de é:

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