Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=(3-2 \operatorname{sen}(x))^{5}

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(x) = \bigl(3 - 2\operatorname{sen}(x)\bigr)^{5}.
Informações dadas:
\text{função: } f(x)=\bigl(3-2\operatorname{sen}(x)\bigr)^{5}.çã
O que é pedido:
  • Calcular f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Vou usar a regra da cadeia (a regra para derivar uma função composta). A fórmula geral é:
\frac{d}{dx}\bigl(u(x)\bigr)^{n} = n\bigl(u(x)\bigr)^{n-1}\cdot u'(x),
onde:
  • u(x) é a função interna (aquela que está elevada a uma potência),
  • n é um número real (a potência),
  • u'(x) é a derivada da função interna em relação a x.
Explicando de forma bem simples: primeiro você replica a potência na frente (multiplica por n), diminui a potência em 1, e multiplica pelo derivado da coisa que está dentro dos parênteses.

Passo 3

Identifico a função interna u(x) e n:
u(x) = 3-2\operatorname{sen}(x),\qquad n=5.
Agora calculo u'(x). Derivo termo a termo:
  • A derivada de 3 (constante) é 0.
  • A derivada de -2\operatorname{sen}(x) é -2 vezes a derivada de \operatorname{sen}(x).
    E sabemos que
\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x).
Portanto:
u'(x)=0-2\cos(x)=-2\cos(x).

Passo 4

Aplico a regra da cadeia com os valores encontrados. Pela fórmula:
f'(x)=5\bigl(u(x)\bigr)^{4}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=3-2\operatorname{sen}(x) e u'(x)=-2\cos(x), obtenho:
f'(x)=5\bigl(3-2\operatorname{sen}(x)\bigr)^{4}\cdot\bigl(-2\cos(x)\bigr).

Passo 5

Simplifico a expressão multiplicando os coeficientes:
5\cdot(-2)=-10.
Logo:
f'(x)=-10\cos(x)\bigl(3-2\operatorname{sen}(x)\bigr)^{4}.

Passo 6

Dica prática para a prova: quando tiver \bigl(a+b\operatorname{sen}(x)\bigr)^{n} ou \bigl(ax+b\bigl)^{n}, aplique direto
\frac{d}{dx}\bigl(ax+b\bigr)^{n}=n\bigl(ax+b\bigr)^{n-1}\cdot a,
ou, no caso com seno, substitua a por coeficiente multiplicando a derivada de \operatorname{sen}(x). Por exemplo,
\frac{d}{dx}\bigl(2x+1\bigr)^{3}=3(2x+1)^{2}\cdot2=6(2x+1)^{2}.
Respira, faz passo a passo igual fiz aqui e dá certo — você consegue!

Resposta

f'(x)=-10\cos(x)\bigl(3-2\operatorname{sen}(x)\bigr)^{4}

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