Calcule as seguintes derivadas:
f(x)=\frac{\sqrt{x}+\operatorname{cossec}^{2} x}{x^{3}+3 x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{\sqrt{x}+\operatorname{cossec}^{2}x}{x^{3}+3x^{2}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • O numerador é \sqrt{x}+\operatorname{cossec}^{2}x. Vou escrever \operatorname{cossec}^{2}x como \csc^{2}x (é o mesmo símbolo).
  • O denominador é x^{3}+3x^{2}.
  • Domínio plausível (importante para onde a derivada faz sentido): \sqrt{x} exige x\ge 0 e \csc x exige \sin x\neq 0. Portanto devemos ter x>0 e x\neq k\pi para k\in\mathbb{Z}.
    A tarefa é obter f'(x) (a derivada) e apresentar o resultado final.

Passo 2

Qual regra utilizaremos (explicação didática das ferramentas que vou usar):
  • Regra do quociente: se f(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} então
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Aqui N(x) é o numerador e D(x) o denominador. A ideia é derivar numerador e denominador separadamente e combinar conforme essa fórmula.
  • Regras básicas de derivação que usamos:
    • Regra da potência: se g(x)=x^{p} então g'(x)=p x^{p-1}. Assim \sqrt{x}=x^{1/2}\Rightarrow (\sqrt{x})'=\tfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
    • Derivada de funções trigonométricas: \dfrac{d}{dx}\csc x=-\csc x\cot x.
    • Regra da cadeia ou derivada de potência composta: para (\csc x)^{2} podemos usar a regra da cadeia ou reescrever como (\sin x)^{-2}. Vou mostrar as duas formas brevemente:
      • Via cadeia: \dfrac{d}{dx}\big(\csc x\big)^{2}=2\csc x\cdot(\csc x)'=2\csc x\cdot(-\csc x\cot x)=-2\csc^{2}x\cot x.
      • Via potências: \dfrac{d}{dx}(\sin x)^{-2}=-2(\sin x)^{-3}\cos x=-2\frac{\cos x}{\sin^{3}x}=-2\cot x\,\csc^{2}x.
        As duas dão a mesma expressão: \dfrac{d}{dx}\csc^{2}x=-2\cot x\,\csc^{2}x.

Passo 3

Identificamos N(x) e D(x) e derivamos cada um:
N(x)=\sqrt{x}+\csc^{2}x, \qquad D(x)=x^{3}+3x^{2}.
Derivada do numerador N'(x):
  • Derivada de \sqrt{x} é \dfrac{1}{2\sqrt{x}}.
  • Derivada de \csc^{2}x é -2\cot x\,\csc^{2}x (ver explicação no passo anterior).
    Portanto
N'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}-2\cot x\,\csc^{2}x.

Passo 4

Derivada do denominador D'(x):
  • Derivada de x^{3} é 3x^{2}.
  • Derivada de 3x^{2} é 6x.
    Logo
D'(x)=3x^{2}+6x=3x(x+2).
Também podemos fatorar o denominador original se for útil:
D(x)=x^{3}+3x^{2}=x^{2}(x+3).

Passo 5

Aplicamos a regra do quociente:
f'(x)=\frac{N'(x)D(x)-N(x)D'(x)}{[D(x)]^{2}}.
Agora substituímos N, N', D, D' com as expressões que obtivemos.

Passo 6

Substituindo:
f'(x)=\frac{\Big(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-2\cot x\,\csc^{2}x\Big)\big(x^{3}+3x^{2}\big)-\big(\sqrt{x}+\csc^{2}x\big)\big(3x^{2}+6x\big)}{\big(x^{3}+3x^{2}\big)^{2}}.
Explico termo a termo:
  • O primeiro produto \big(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-2\cot x\,\csc^{2}x\big)(x^{3}+3x^{2}) vem de N'(x)D(x).
  • O segundo produto (\sqrt{x}+\csc^{2}x)(3x^{2}+6x) vem de N(x)D'(x).
  • O denominador é o quadrado de D(x).

Passo 7

Podemos deixar a resposta nessa forma fatorada (que é limpo e claro), ou abrir produtos para simplificar um pouco. Vou expandir parcialmente os fatores que não envolvem trigonometria para facilitar leitura prática numa prova (não é necessário expandir os termos trigonométricos):
Primeiro fator do numerador:
\Big(\frac{1}{2\sqrt{x}}\Big)(x^{3}+3x^{2})=\frac{x^{3}+3x^{2}}{2\sqrt{x}}=\frac{x^{2}(x+3)}{2\sqrt{x}}=\frac{x^{3/2}(x+3)}{2}.
O termo com trig nesse produto fica
-2\cot x\,\csc^{2}x\,(x^{3}+3x^{2})=-2(x^{3}+3x^{2})\cot x\,\csc^{2}x.
O segundo produto:
(\sqrt{x}+\csc^{2}x)(3x^{2}+6x)=(\sqrt{x}+\csc^{2}x)\cdot 3x(x+2).
Se quisermos manter a forma compacta, a expressão do Passo 6 já é adequada para a maior parte das provas.

Passo 8

Observações finais para quem vai escrever na prova:
  • Está correta e suficiente a forma fatorada obtida no Passo 6.
  • Se pedirem domínio da derivada, lembre de mencionar x>0 e x\neq k\pi.
  • Se quiseres, podes simplificar multiplicando numerador e denominador por 2\sqrt{x} para eliminar a fração interna, mas não é obrigatório.

Resposta

f'(x)=\frac{\left(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}-2\cot x\,\csc^{2}x\right)\big(x^{3}+3x^{2}\big)-\big(\sqrt{x}+\csc^{2}x\big)\big(3x^{2}+6x\big)}{\big(x^{3}+3x^{2}\big)^{2}}.

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