Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações iniciais:
- O numerador é
. Vou escrever como (é o mesmo símbolo). - O denominador é
. - Domínio plausível (importante para onde a derivada faz sentido):
exige e exige . Portanto devemos ter e para .
A tarefa é obter(a derivada) e apresentar o resultado final.
Passo 2
Qual regra utilizaremos (explicação didática das ferramentas que vou usar):
- Regra do quociente: se
então
Aqui
é o numerador e
o denominador. A ideia é derivar numerador e denominador separadamente e combinar conforme essa fórmula.
- Regras básicas de derivação que usamos:
- Regra da potência: se
então . Assim . - Derivada de funções trigonométricas:
. - Regra da cadeia ou derivada de potência composta: para
podemos usar a regra da cadeia ou reescrever como . Vou mostrar as duas formas brevemente: - Via cadeia:
. - Via potências:
.
As duas dão a mesma expressão:.
- Via cadeia:
- Regra da potência: se
Passo 3
Identificamos
e
e derivamos cada um:
Derivada do numerador
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (ver explicação no passo anterior).
Portanto
Passo 4
Derivada do denominador
:
- Derivada de
é . - Derivada de
é .
Logo
Também podemos fatorar o denominador original se for útil:
Passo 5
Aplicamos a regra do quociente:
Agora substituímos
,
,
,
com as expressões que obtivemos.
Passo 6
Substituindo:
Explico termo a termo:
- O primeiro produto
vem de . - O segundo produto
vem de . - O denominador é o quadrado de
.
Passo 7
Podemos deixar a resposta nessa forma fatorada (que é limpo e claro), ou abrir produtos para simplificar um pouco. Vou expandir parcialmente os fatores que não envolvem trigonometria para facilitar leitura prática numa prova (não é necessário expandir os termos trigonométricos):
Primeiro fator do numerador:
Primeiro fator do numerador:
O termo com trig nesse produto fica
O segundo produto:
Se quisermos manter a forma compacta, a expressão do Passo 6 já é adequada para a maior parte das provas.
Passo 8
Observações finais para quem vai escrever na prova:
- Está correta e suficiente a forma fatorada obtida no Passo 6.
- Se pedirem domínio da derivada, lembre de mencionar
e . - Se quiseres, podes simplificar multiplicando numerador e denominador por
para eliminar a fração interna, mas não é obrigatório.