Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{lll} 265 & 240 & 219 \\\\ 240 & 225 & 198 \\\\ 219 & 198 & 181 \end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede o determinante da matriz simétrica
A=\begin{pmatrix} 265 & 240 & 219\\\\ 240 & 225 & 198\\\\ 219 & 198 & 181 \end{pmatrix}.
Para facilitar o cálculo, vamos usar operações elementares em linhas (que não alteram o valor do determinante) para introduzir zeros ou simplificar coeficientes, e depois faremos expansão por cofiatores.

Passo 2

Aplicamos as seguintes operações em linhas:
R1 ← R1 − R2 e R2 ← R2 − R3, deixando R3 inalterada. Obtemos
\begin{pmatrix} 265 & 240 & 219\\\\ 240 & 225 & 198\\\\ 219 & 198 & 181 \end{pmatrix} \;\longrightarrow\; \begin{pmatrix} 25 & 15 & 21\\\\ 21 & 27 & 17\\\\ 219 & 198 & 181 \end{pmatrix}.
O determinante permanece o mesmo após essas duas substituições.

Passo 3

Agora expandimos o determinante em relação à primeira linha da matriz transformada:
\det(A) =25\det\begin{pmatrix}27 & 17\\\ 198 & 181\end{pmatrix} -15\det\begin{pmatrix}21 & 17\\\ 219 & 181\end{pmatrix} +21\det\begin{pmatrix}21 & 27\\\ 219 & 198\end{pmatrix}.

Passo 4

Calculamos separadamente cada um dos menores 2\times 2:
\det\begin{pmatrix}27 & 17\\\ 198 & 181\end{pmatrix} =27\cdot181-17\cdot198=4887-3366=1521,
\det\begin{pmatrix}21 & 17\\\ 219 & 181\end{pmatrix} =21\cdot181-17\cdot219=3801-3723=78,
\det\begin{pmatrix}21 & 27\\\ 219 & 198\end{pmatrix} =21\cdot198-27\cdot219=4158-5913=-1755.
Substituindo na expansão:
\det(A)=25\cdot1521-15\cdot78+21\cdot(-1755) =38025-1170-36855=0.

Resposta

0

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