Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrr}1 & 3 & 2 \\\\ 4 & 1 & -2 \\\\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • Dá uma matriz quadrada 3\times3 cujos elementos, lidos linha a linha, são: \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
  • Pede para calcular o determinante dessa matriz, ou seja, o número real \det associado a ela.]

Passo 2

Entendendo o que é o determinante de uma matriz 3\times3 e a regra de Sarrus (método prático).
  • O determinante de uma matriz 3\times3 A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}pode ser calculado pela regra de Sarrus: copiar as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das três diagonais descendentes e subtrair os produtos das três diagonais ascendentes. Em fórmula, \det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
  • Aqui cada a_{ij} significa o elemento da linha i e coluna j.]

Passo 3

Aplicando a regra de Sarrus à matriz dada (contando passo a passo).
  • Identificando os a_{ij} na matriz dada: a_{11}=1,\\ a_{12}=3,\\ a_{13}=2,\quad a_{21}=4,\\ a_{22}=1,\\ a_{23}=-2,\quad a_{31}=2,\\ a_{32}=1,\\ a_{33}=3.
  • Calculando os produtos das diagonais descendentes: a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot1\cdot3=3,
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot(-2)\cdot2=-12,
a_{13}a_{21}a_{32}=2\cdot4\cdot1=8.
Soma das descendentes:
3+(-12)+8=-1.
  • Calculando os produtos das diagonais ascendentes: a_{13}a_{22}a_{31}=2\cdot1\cdot2=4,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot(-2)\cdot1=-2,
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot4\cdot3=36.
Soma das ascendentes:
4+(-2)+36=38.
  • Subtraindo para obter o determinante: \det = (-1)-38 = -39.

Passo 4

Método alternativo (expansão por cofatores) como verificação e para aprender outro procedimento útil em prova.
  • Regra: expandir pela primeira linha dá \det = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor (determinante da submatriz obtida ao eliminar linha i e coluna j).
  • Calculando os menores: M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-2)\cdot1=3+2=5,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}4 & -2\\[4pt]2 & 3\end{pmatrix}=4\cdot3-(-2)\cdot2=12+4=16,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}4 & 1\\[4pt]2 & 1\end{pmatrix}=4\cdot1-1\cdot2=4-2=2.
  • Cofatores: C_{11}=+M_{11}=5,\quad C_{12}=-M_{12}=-16,\quad C_{13}=+M_{13}=2.
  • Expandindo: \det = 1\cdot5 + 3\cdot(-16) + 2\cdot2 = 5-48+4=-39,que confirma o resultado obtido por Sarrus.]

Passo 5

Dicas práticas para a prova (rápidas, tipo “macetes” e cuidado com sinais).
  • Para matrizes 3\times3, a regra de Sarrus costuma ser mais rápida; a expansão por cofatores é mais geral (funciona para qualquer linha ou coluna) e útil quando há zeros que simplificam os cálculos.
  • Sempre preste atenção aos sinais nas diagonais ascendentes (essa é a fonte mais comum de erro).
  • Se der tempo, é bom fazer um método de verificação (como fizemos) para evitar erro de conta.

Resposta

-39

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