Dá uma matriz quadrada 3\times3 cujos elementos, lidos linha a linha, são:\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2\\[4pt] 4 & 1 & -2\\[4pt] 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}.
Pede para calcular o determinante dessa matriz, ou seja, o número real \det associado a ela.]
Passo 2
Entendendo o que é o determinante de uma matriz 3\times3 e a regra de Sarrus (método prático).
O determinante de uma matriz 3\times3A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}pode ser calculado pela regra de Sarrus: copiar as duas primeiras colunas à direita e somar os produtos das três diagonais descendentes e subtrair os produtos das três diagonais ascendentes. Em fórmula,\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Aqui cada a_{ij} significa o elemento da linha i e coluna j.]
Passo 3
Aplicando a regra de Sarrus à matriz dada (contando passo a passo).
Identificando os a_{ij} na matriz dada:a_{11}=1,\\ a_{12}=3,\\ a_{13}=2,\quad a_{21}=4,\\ a_{22}=1,\\ a_{23}=-2,\quad a_{31}=2,\\ a_{32}=1,\\ a_{33}=3.
Calculando os produtos das diagonais descendentes:a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot1\cdot3=3,
a_{12}a_{23}a_{31}=3\cdot(-2)\cdot2=-12,
a_{13}a_{21}a_{32}=2\cdot4\cdot1=8.
Soma das descendentes:
3+(-12)+8=-1.
Calculando os produtos das diagonais ascendentes:a_{13}a_{22}a_{31}=2\cdot1\cdot2=4,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot(-2)\cdot1=-2,
a_{12}a_{21}a_{33}=3\cdot4\cdot3=36.
Soma das ascendentes:
4+(-2)+36=38.
Subtraindo para obter o determinante:\det = (-1)-38 = -39.
Passo 4
Método alternativo (expansão por cofatores) como verificação e para aprender outro procedimento útil em prova.
Regra: expandir pela primeira linha dá\det = a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},onde C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij} e M_{ij} é o menor (determinante da submatriz obtida ao eliminar linha i e coluna j).
Calculando os menores:M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & -2\\[4pt]1 & 3\end{pmatrix}=1\cdot3-(-2)\cdot1=3+2=5,
Expandindo:\det = 1\cdot5 + 3\cdot(-16) + 2\cdot2 = 5-48+4=-39,que confirma o resultado obtido por Sarrus.]
Passo 5
Dicas práticas para a prova (rápidas, tipo “macetes” e cuidado com sinais).
Para matrizes 3\times3, a regra de Sarrus costuma ser mais rápida; a expansão por cofatores é mais geral (funciona para qualquer linha ou coluna) e útil quando há zeros que simplificam os cálculos.
Sempre preste atenção aos sinais nas diagonais ascendentes (essa é a fonte mais comum de erro).
Se der tempo, é bom fazer um método de verificação (como fizemos) para evitar erro de conta.