Mostre que se \left(a, 2^{n+1}\right)=2^{n} e \left(b, 2^{n+1}\right)=2^{n}, então \left(a+b, 2^{n+1}\right)=2^{n+1}.

Passo 1

O enunciado dá as duas igualdades
\left(a,2^{n+1}\right)=2^{n} \qquad\text{e}\qquad \left(b,2^{n+1}\right)=2^{n},
e pede para mostrar que
\left(a+b,2^{n+1}\right)=2^{n+1}.
Aqui \left(x,y\right) denota o máximo divisor comum entre x e y. Vou usar apenas as informações numéricas acima (não peço nada mais).

Passo 2

Interpretação das hipóteses em termos de divisibilidade (explicando devagar).
A condição \left(a,2^{n+1}\right)=2^{n} significa duas coisas juntas:
  • 2^{n} divide a (escrevemos 2^{n}\mid a);
  • 2^{n+1} não divide a (ou seja, 2^{n+1}\nmid a).
Da primeira parte segue que existe um inteiro a' tal que
a = 2^{n} a'.
Da segunda parte segue que a' não é par; isto é, a' é ímpar. Para ver por que, suponha que a' fosse par: então a'=2k e a=2^{n}(2k)=2^{n+1}k, o que contradiz 2^{n+1}\nmid a. Logo a' é ímpar.
O mesmo raciocínio vale para b: existe inteiro ímpar b' tal que
b = 2^{n} b'.

Passo 3

Agora somamos a e b usando as representações obtidas:
a+b = 2^{n}a' + 2^{n}b' = 2^{n}(a'+b').

Passo 4

Propriedade simples sobre ímpares: um número ímpar tem forma 2k+1. A soma de dois ímpares é sempre par, porque
(2k+1)+(2\ell+1)=2(k+\ell+1),
um múltiplo de 2. Como a' e b' são ímpares, concluímos que a'+b' é par. Ou seja, existe inteiro c tal que
a'+b' = 2c.

Passo 5

Substituindo em a+b temos
a+b = 2^{n}(a'+b') = 2^{n}\cdot 2c = 2^{n+1}c,
ou seja, 2^{n+1} divide a+b: 2^{n+1}\mid (a+b).
Como \left(a+b,2^{n+1}\right) é um divisor de 2^{n+1}, o maior valor possível para esse máximo divisor comum é exatamente 2^{n+1}. Tendo mostrado que 2^{n+1} divide a+b, segue que
\left(a+b,2^{n+1}\right)=2^{n+1}.

Resposta

\left(a+b,2^{n+1}\right)=2^{n+1}

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