Mostre que se
e
, então
.
Passo 1
O enunciado dá as duas igualdades
e pede para mostrar que
Aqui
denota o máximo divisor comum entre
e
. Vou usar apenas as informações numéricas acima (não peço nada mais).
Passo 2
Interpretação das hipóteses em termos de divisibilidade (explicando devagar).
A condição significa duas coisas juntas:
A condição
-
divide (escrevemos ); -
não divide (ou seja, ).
Da primeira parte segue que existe um inteiro
tal que
Da segunda parte segue que
não é par; isto é,
é ímpar. Para ver por que, suponha que
fosse par: então
e
, o que contradiz
. Logo
é ímpar.
O mesmo raciocínio vale para
: existe inteiro ímpar
tal que
Passo 3
Agora somamos
e
usando as representações obtidas:
Passo 4
Propriedade simples sobre ímpares: um número ímpar tem forma
. A soma de dois ímpares é sempre par, porque
um múltiplo de
. Como
e
são ímpares, concluímos que
é par. Ou seja, existe inteiro
tal que
Passo 5
Substituindo em
temos
ou seja,
divide
:
.
Como
é um divisor de
, o maior valor possível para esse máximo divisor comum é exatamente
. Tendo mostrado que
divide
, segue que