Calcule os seguintes determinantes:
\left|\begin{array}{rrrrr}0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\\\ 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \\\\ 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\\\ 5 & 0 & 0 & 1 & 0\end{array}\right|;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz M de ordem 5, cujo único conteúdo teórico necessário é a definição de determinante por permutações, aproveitando que M é muito esparsa (cada linha tem exatamente uma entrada não nula).
M = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & -3 \\[6pt] 0 & 0 & 0 & -4 & 0 \\[6pt] 0 & 0 & -1 & 0 & 0 \\[6pt] 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\[6pt] 5 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}
Queremos \det(M).]

Passo 2

Observando cada linha, notamos que as únicas entradas não nulas são:
– linha 1 em coluna 5: -3
– linha 2 em coluna 4: -4
– linha 3 em coluna 3: -1
– linha 4 em coluna 2: 2
– linha 5 em coluna 1: 5
Para que a permutação cubra todas as colunas sem repetir, essa é a única escolha possível.

Passo 3

A permutação \sigma correspondente é
\sigma = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5\\\\ 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},
que é a permutação inversora de \{1,2,3,4,5\}. Ela tem
\text{inv}(\sigma) = \frac{5\cdot4}{2} = 10
inversões, logo
\operatorname{sgn}(\sigma) = (-1)^{10} = 1.

Passo 4

Pela definição de determinante, multiplicamos o sinal pela produto das entradas escolhidas:
\det(M) = \operatorname{sgn}(\sigma)\,\bigl(-3\bigr)\,\bigl(-4\bigr)\,\bigl(-1\bigr)\,\bigl(2\bigr)\,\bigl(5\bigr).
Calculando em seguida:
(-3)\times(-4) =12,\quad 12\times(-1) = -12,\quad -12\times2 = -24,\quad -24\times5 = -120.

Resposta

\det(M) = -120.

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