Uma matriz quadrada A é dita idempotente se A^{2}=A.
(a) Mostre que a matriz A=\left[\begin{array}{rrr}2 & -1 & 1 \\\\ -3 & 4 & -3 \\\\ -5 & 5 & -4\end{array}\right] é idempotente. Calcule A^{3}, A^{4}, \ldots, A^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ -3 & 4 & -3\\\\ -5 & 5 & -4 \end{pmatrix}
é idempotente, ou seja, que \,A^{2}=A. Em seguida, devemos usar esse fato para calcular A^{3},A^{4},\dots,A^{n}.

Passo 2

Para calcular A^{2}=A\cdot A, lembramos que o elemento (i,j) de A^{2} é dado por
(A^{2})_{ij}=\sum_{k=1}^{3}A_{ik}\,A_{kj}.
Como exemplo, o elemento (1,1) é
(A^{2})_{11}=2\cdot2+(-1)\cdot(-3)+1\cdot(-5)=4+3-5=2.
Fazendo esse mesmo cálculo para todas as entradas, obtém-se
A^{2}= \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1\\\\ -3 & 4 & -3\\\\ -5 & 5 & -4 \end{pmatrix} =A.

Passo 3

Como o produto levou de volta à própria matriz, concluímos que
A^{2}=A,
isto é, A é de fato idempotente.

Passo 4

Usando a idempotência \,A^{2}=A, basta notar que para qualquer k\ge3
A^{k}=A^{k-1}\,A=A\,A=A^{2}=A.
Portanto vale também para k=3,4,\dots,n.

Resposta

A^{3}=A,\quad A^{4}=A,\quad \dots,\quad A^{n}=A.

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