Uma matriz quadrada
é dita idempotente se
.
(a) Mostre que a matriz
é idempotente. Calcule
.
(a) Mostre que a matriz
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a matriz
é idempotente, ou seja, que
. Em seguida, devemos usar esse fato para calcular
.
Passo 2
Para calcular
, lembramos que o elemento
de
é dado por
Como exemplo, o elemento
é
Fazendo esse mesmo cálculo para todas as entradas, obtém-se
Passo 3
Como o produto levou de volta à própria matriz, concluímos que
isto é,
é de fato idempotente.
Passo 4
Usando a idempotência
, basta notar que para qualquer
Portanto vale também para
.