Calcule as seguintes integrais.
(b) integral7^9 x-1x(x-2) d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral definida de no intervalo de 7 a 9. Isso envolve o conteúdo de integração por frações parciais, que é uma técnica usada para simplificar integrais de funções racionais (quando temos um polinômio dividido por outro polinômio).

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração x-1x(x-2) = Ax + Bx-2 em frações parciais. Queremos encontrar constantes e tais que:

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por x - 1 = A(x - 2) + Bx para eliminar os denominadores:
0 - 1 = A(0 - 2) + B(0) Rightarrow -1 = -2A Rightarrow A = 12
Agora, vamos resolver para 2 - 1 = A(2 - 2) + B(2) Rightarrow 1 = 0 + 2B Rightarrow B = 12 e :
  • Para encontrar , podemos substituir :
  • Para encontrar , substituímos :

Passo 4

Com os valores de x-1x(x-2) = 12x + 12x-2 = 12x + 12(x-2) e encontrados, reescrevemos a fração inicial:

Passo 5

Agora, substituímos essa expressão na integral original:
integral7^9 x-1x(x-2) , dx = integral7^9 ( 12x + 12(x-2) ) dx
Podemos separar a integral:
= 12 integral7^9 1x , dx + 12 integral7^9 1x-2 , dx
As integrais de = 12 [ ln|x| ]7^9 + 12 [ ln|x-2| ]7^9 e são logaritmos naturais:

Passo 6

Finalmente, avaliamos as integrais nos limites de 7 a 9:
= 12 (ln 9 - ln 7) + 12 (ln 7 - ln 5)
Simplificando:
= 12 (ln 9 - ln 5) = 12 ln(95)

Resposta

O valor da integral é .

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