Calcule.
© integral sen(x) cos ^4(5 x) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com integração envolvendo funções trigonométricas, especificamente seno e cosseno. Para resolver isso, a gente vai precisar usar algumas fórmulas de redução de potência e talvez aplicar substituição. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^4(theta) = 3 + 4cos(2theta) + cos(4theta)8 usando a fórmula de redução de potência para o cosseno. A fórmula geral é:
cos^4(5x) = 3 + 4cos(10x) + cos(20x)8
Aplicando isso no nosso caso, onde :

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expressão na integral original:
Podemos fatorar o integral sen(x) cos^4(5x) , dx = integral sen(x) ( 3 + 4cos(10x) + cos(20x)8 ) dx para simplificar:

Passo 4

Vamos distribuir a integral:
Agora, vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 5

Primeira integral:
A integral de é 3integral sen(x) , dx = -3cos(x) , então:

Passo 6

Segunda integral:
Aqui, usamos a fórmula de integração para :
Aplicando integral sen(a x)cos(b x) , dx = sen((a+b)x)2(a+b) + sen((a-b)x)2(a-b) + C e 4integral sen(x)cos(10x) , dx = 4 ( sen(11x)22 + sen(-9x)-18 ) = 211sen(11x) - 29sen(9x) :

Passo 7

Terceira integral:
Usando a mesma fórmula com integral sen(x)cos(20x) , dx = sen(21x)42 + sen(-19x)-38 = sen(21x)42 - sen(19x)38 e :

Passo 8

Agora, juntando todas as partes:

Passo 9

Simplificando os coeficientes:

Resposta

A integral é igual a:

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