Calcule as seguintes integrais definidas:
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos t\,dt
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que basta encontrar uma antiderivada de \cos t e avaliar nos limites de integração.

Passo 2

Vamos achar a antiderivada de \cos t. Sabemos que
\frac{d}{dt}\bigl(\sin t\bigr)=\cos t,
logo uma antiderivada de \cos t é \sin t.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, temos
\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos t\,dt =\Bigl[\sin t\Bigr]_{0}^{\frac{\pi}{4}} =\sin\!\Bigl(\tfrac{\pi}{4}\Bigr)-\sin(0) =\frac{\sqrt{2}}{2}-0 =\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}

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