Calcule as seguintes integrais definidas: integral0^4 6 raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A gente está trabalhando com cálculo, mais especificamente com integração. Para resolver isso, vamos precisar entender como integrar funções que envolvem raízes quadradas e aplicar as regras básicas de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função integral0^4 6 x^1/2 , dx como . Então, a integral fica:

Passo 3

Agora, vamos tirar a constante 6 para fora da integral, já que ela não depende de 6 integral0^4 x^1/2 , dx :

Passo 4

Para integrar integral x^1/2 , dx = x^3/23/2 = 23 x^3/2 , usamos a regra de potência para integrais, que diz que , onde é a constante de integração. Aqui, , então:

Passo 5

Voltando à nossa integral com a constante:
6 [ 23 x^3/2 ]0^4

Passo 6

Multiplicando 6 por 6 times 23 = 4 :
4 [ x^3/2 ]0^4
Então, a expressão fica:

Passo 7

Agora, vamos calcular 4^3/2 = (4^1/2)^3 = (2)^3 = 8 em 0^3/2 = 0 e :
Para :
Para :

Passo 8

Subtraindo os valores:
4 (8 - 0) = 32

Resposta

O valor da integral definida é 32.

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