Encontre o limite da sequência a_n = (3n + cos(pi n)) / (n + 2).

Passo 1

Vamos resolver o limite da sequência . Para isso, vamos usar conhecimentos de limites em cálculo, analisando como cada parte da expressão se comporta quando fica muito grande. Precisamos entender o comportamento do cosseno e como simplificar a expressão para encontrar o limite final.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o numerador . Aqui, o termo cresce sem parar conforme aumenta, enquanto oscila entre -1 e 1. Isso significa que, para valores grandes de , será muito maior que .

Passo 3

Agora, no denominador , o termo também cresce sem limite quando aumenta, e o 2 se torna relativamente pequeno em comparação com .

Passo 4

Para simplificar a expressão, vamos dividir cada termo do numerador e do denominador por :

Passo 5

Agora, vamos analisar o que acontece quando tende ao infinito:
  • tende a 0, porque está sempre entre -1 e 1, e dividir por faz com que esse termo desapareça.
  • também tende a 0 pelo mesmo motivo.
Portanto, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite da sequência quando tende ao infinito é 3.

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