Calcule as seguintes integrais duplas: (b) 
  onde 
  é a região limitada por 
  e o eixo 
 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que é 
 . A gente vai trabalhar com cálculo integral, especificamente integrais duplas. Primeiro, precisamos entender qual é a região 
  onde vamos integrar. Essa região é limitada pelas curvas 
 , 
  e pelo eixo 
 . Vamos precisar desenhar essa região e definir os limites de integração.
Passo 2
Vamos começar desenhando as retas que delimitam a região 
 . A primeira reta é 
 , que é uma linha reta passando pela origem com inclinação 45°. A segunda reta é 
 , que podemos reescrever como 
 . Essa reta intercepta o eixo 
  no ponto 
  e tem uma inclinação menor que a da primeira reta. O eixo 
  é apenas a linha vertical onde 
 .
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos de interseção dessas retas para definir os limites de integração.
Primeiro, igualamos 
  e 
 :
Substituindo 
  em 
 :
Então, as retas se interceptam no ponto 
 . A interseção com o eixo 
  é no ponto 
  para 
  e 
  para 
 .
Passo 4
Com esses pontos, podemos visualizar a região 
 . Ela é um trapézio com os vértices em 
 , 
 , 
  e 
 . Notamos que a região se estende de 
  a 
 . Para cada valor de 
 , 
  varia de 
  até 
 .
Passo 5
Vamos agora montar os limites de integração. Como 
  varia de 
  a 
 , e para cada 
 , 
  varia de 
  até 
 , a integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a 
 . Vamos expandir 
 :
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Integrando termo a termo em relação a 
 :
Então, a integral interna avaliada dos limites 
  a 
  é:
Passo 8
Vamos simplificar cada parte:
Passo 9
Somando todas as partes:
Simplificando os termos de 
 , 
 , 
  e constantes:
Passo 10
Calculando os coeficientes:
- 
:  - 
:  - 
:  - Constante: 
 
Então, a integral interna simplificada é:
Passo 11
Agora, vamos integrar essa expressão em relação a 
  de 
  a 
 :
Integrando termo a termo:
Passo 12
Agora, avaliamos a expressão integrada de 
  a 
 :
Substituindo 
 :
Simplificando:
Resposta
A integral dupla 
  vale 
 .