Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
\iint_{R} \sin \left(x^{2}+y^{2}\right) d x d y, onde R=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}:-2 \leq x \leq 2\right. e \left.0 \leq y \leq \sqrt{4-x^{2}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy,
onde R é o conjunto dos pontos (x,y) tais que -2\le x\le 2 e 0\le y\le \sqrt{4-x^{2}}.
Informações importantes que o enunciado nos dá:
  • A desigualdade y\le\sqrt{4-x^{2}} junto com -2\le x\le 2 descreve a semicircunferência superior de raio 2 centrada na origem (o semi-disco com y\ge0).
  • O integrando depende apenas de x^{2}+y^{2}, ou seja, depende somente da distância ao origem.
O que devemos encontrar: o valor numérico da integral dupla sobre esse semi-disco superior.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares? Quando o integrando depende de x^{2}+y^{2} é quase sempre mais simples passar para coordenadas polares porque x^{2}+y^{2}=r^{2}. Vamos recordar a mudança para coordenadas polares e o fator de correção (Jacobiano):
Definição de coordenadas polares:
x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta.
Aqui r\ge 0 é a distância ao origem e \theta é o ângulo medido a partir do eixo x positivo.
Jacobiano da transformação (fator que relaciona áreas):
dx\,dy = r\,dr\,d\theta.
Explicação rápida: pequenas áreas cartesianas são transformadas em pequenas áreas polares com área aproximadamente r\,dr\,d\theta porque o arco de raio r e ângulo d\theta tem comprimento r\,d\theta.

Passo 3

Determinar os limites em coordenadas polares para a região R:
  • A região é o semi-disco superior de raio 2. Isso implica que r varia de 0 até 2:
0 \le r \le 2.
  • Como estamos apenas na metade superior (isto é, y\ge 0), o ângulo \theta varia de 0 até \pi:
0 \le \theta \le \pi.
Portanto os limites em polares são r\in[0,2] e \theta\in[0,\pi].

Passo 4

Reescrever o integrando em polares. Como x^{2}+y^{2}=r^{2}, temos
\sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)=\sin\!\left(r^{2}\right).
Multiplicando pelo Jacobiano, o elemento de área fica r\,dr\,d\theta. Assim a integral dupla se transforma em
\iint_{R} \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{2} \sin\!\left(r^{2}\right)\, r\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral interna em r:
\int_{r=0}^{2} r\,\sin\!\left(r^{2}\right)\,dr.
Aqui é conveniente a substituição u=r^{2}. Vamos explicá-la passo a passo:
  • Defina u=r^{2}. Então du=2r\,dr, ou seja r\,dr=\dfrac{du}{2}.
  • Os limites em u: quando r=0 tem u=0, quando r=2 tem u=4.
Aplicando a substituição:
\int_{r=0}^{2} r\,\sin\!\left(r^{2}\right)\,dr = \int_{u=0}^{4} \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{4}\sin(u)\,du.

Passo 6

Avaliar a integral em u:
\frac{1}{2}\int_{0}^{4}\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{4} = \frac{1}{2}\bigl(-\cos(4)+\cos(0)\bigr).
Como \cos(0)=1, isso dá
\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(4)\bigr).

Passo 7

Agora integrar em \theta. A integral externa é simples:
\int_{\theta=0}^{\pi} d\theta = \pi.
Multiplicando pelo resultado da integral em r obtemos o valor total:
\iint_{R} \sin\!\left(x^{2}+y^{2}\right)\,dx\,dy = \pi \cdot \frac{1}{2}\bigl(1-\cos(4)\bigr) = \frac{\pi}{2}\bigl(1-\cos(4)\bigr).

Resposta

\dfrac{\pi}{2}\bigl(1-\cos(4)\bigr)

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