Calcule as seguintes integrais duplas utilizando coordenadas polares
, onde
e
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o conjunto dos pontos
tais que
e
.
Informações importantes que o enunciado nos dá:
- A desigualdade
junto com descreve a semicircunferência superior de raio centrada na origem (o semi-disco com ). - O integrando depende apenas de
, ou seja, depende somente da distância ao origem.
O que devemos encontrar: o valor numérico da integral dupla sobre esse semi-disco superior.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares? Quando o integrando depende de
é quase sempre mais simples passar para coordenadas polares porque
. Vamos recordar a mudança para coordenadas polares e o fator de correção (Jacobiano):
Definição de coordenadas polares:
Aqui
é a distância ao origem e
é o ângulo medido a partir do eixo
positivo.
Jacobiano da transformação (fator que relaciona áreas):
Explicação rápida: pequenas áreas cartesianas são transformadas em pequenas áreas polares com área aproximadamente
porque o arco de raio
e ângulo
tem comprimento
.
Passo 3
Determinar os limites em coordenadas polares para a região
:
- A região é o semi-disco superior de raio
. Isso implica que varia de até :
- Como estamos apenas na metade superior (isto é,
), o ângulo varia de até :
Portanto os limites em polares são
e
.
Passo 4
Reescrever o integrando em polares. Como
, temos
Multiplicando pelo Jacobiano, o elemento de área fica
. Assim a integral dupla se transforma em
Passo 5
Calcular a integral interna em
:
Aqui é conveniente a substituição
. Vamos explicá-la passo a passo:
- Defina
. Então , ou seja . - Os limites em
: quando tem , quando tem .
Aplicando a substituição:
Passo 6
Avaliar a integral em
:
Como
, isso dá
Passo 7
Agora integrar em
. A integral externa é simples:
Multiplicando pelo resultado da integral em
obtemos o valor total: