Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2 n(n+3)(n+6)}
Passo 1
O enunciado pede para estudar a natureza (convergência/divergência) da série e, se possível, determinar sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}.
Informações importantes fornecidas:
O termo geral é \dfrac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}.
Deve-se decidir se a série converge (ou diverge) e, se converge, calcular sua soma.
Passo 2
Primeiro vamos analisar a convergência. Uma maneira simples é comparar o comportamento assintótico do termo geral com uma série p. Observe que, para n grande,
Lembrando o teste da série p (p-series): a série \sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1. Como aqui o termo se comporta como 1/n^3 com 3>1, a série converge. Como os termos são positivos, a convergência é absoluta (e portanto convergência normal). Conclusão: a série converge absolutamente.
Passo 3
Para encontrar a soma vamos procurar uma decomposição em frações parciais que permita telescopar. Procuramos constantes A,B,C tais que, para todo n,