Estudar a natureza das séries seguintes e determine a soma, caso seja possível:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2 n(n+3)(n+6)}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a natureza (convergência/divergência) da série e, se possível, determinar sua soma. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}.
Informações importantes fornecidas:
  • O termo geral é \dfrac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}.
  • Deve-se decidir se a série converge (ou diverge) e, se converge, calcular sua soma.

Passo 2

Primeiro vamos analisar a convergência. Uma maneira simples é comparar o comportamento assintótico do termo geral com uma série p. Observe que, para n grande,
n(n+3)(n+6)\sim n^3,
então
\frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}\sim \frac{5}{2}\cdot\frac{1}{n^3}.
Lembrando o teste da série p (p-series): a série \sum 1/n^p converge se, e somente se, p>1. Como aqui o termo se comporta como 1/n^3 com 3>1, a série converge. Como os termos são positivos, a convergência é absoluta (e portanto convergência normal). Conclusão: a série converge absolutamente.

Passo 3

Para encontrar a soma vamos procurar uma decomposição em frações parciais que permita telescopar. Procuramos constantes A,B,C tais que, para todo n,
\frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+3}+\frac{C}{n+6}.
Multiplicando ambos os lados por n(n+3)(n+6) obtemos a identidade de polinômios
\frac{5}{2}=A(n+3)(n+6)+B n(n+6)+C n(n+3).
Expandindo os produtos do lado direito:
\frac{5}{2}=(A+B+C)n^2+(9A+6B+3C)n+18A.
Como isso vale para todo n, igualamos coeficientes de potências de n:
\begin{cases} A+B+C=0,\\[4pt] 9A+6B+3C=0,\\[4pt] 18A=\dfrac{5}{2}. \end{cases}]

Passo 4

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação,
A=\frac{5/2}{18}=\frac{5}{36}.
Substituindo em 9A+6B+3C=0:
9\cdot\frac{5}{36}+6B+3C=0\quad\Rightarrow\quad \frac{5}{4}+6B+3C=0.
Dividindo por 1 e simplificando, obtemos
2B+C=-\frac{5}{12}.
Da primeira equação A+B+C=0 temos
B+C=-A=-\frac{5}{36}.
Subtraindo as duas equações ( (2B+C)-(B+C)=B) obtemos
B=-\frac{5}{12}+\frac{5}{36}=-\frac{5}{18}.
Então
C=-\frac{5}{36}-B=-\frac{5}{36}+\frac{5}{18}=\frac{5}{36}.
Logo os coeficientes são
A=\frac{5}{36},\qquad B=-\frac{5}{18},\qquad C=\frac{5}{36}.
Portanto podemos escrever o termo geral como
\frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}=\frac{5}{36}\Big(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+6}\Big).

Passo 5

Agora formamos a soma parcial S_N=\sum_{n=1}^N do termo geral e vamos transformar em somas deslocadas:
S_N=\frac{5}{36}\sum_{n=1}^N\Big(\frac{1}{n}-\frac{2}{n+3}+\frac{1}{n+6}\Big).
Separe as somas e introduza os números harmônicos H_m=\sum_{k=1}^m\frac{1}{k}. Temos
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n}=H_N, \qquad \sum_{n=1}^N\frac{1}{n+3}=\sum_{k=4}^{N+3}\frac{1}{k}=H_{N+3}-H_3,
\sum_{n=1}^N\frac{1}{n+6}=\sum_{k=7}^{N+6}\frac{1}{k}=H_{N+6}-H_6.
Portanto
S_N=\frac{5}{36}\Big(H_N-2(H_{N+3}-H_3)+(H_{N+6}-H_6)\Big).
Reordenando:
S_N=\frac{5}{36}\Big((H_{N+6}-2H_{N+3}+H_N)+(2H_3-H_6)\Big).

Passo 6

Analisamos o comportamento quando N\to\infty. Note que
H_{N+6}-2H_{N+3}+H_N=\big(H_{N+6}-H_{N+3}\big)-\big(H_{N+3}-H_N\big)
=\left(\frac{1}{N+4}+\frac{1}{N+5}+\frac{1}{N+6}\right)-\left(\frac{1}{N+1}+\frac{1}{N+2}+\frac{1}{N+3}\right).
Cada termo da forma 1/(N+k) tende a 0 quando N\to\infty, logo o conjunto acima tende a 0. Assim o limite da soma parcial é
\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{5}{36}\big(0+(2H_3-H_6)\big)=\frac{5}{36}(2H_3-H_6).
Agora calculemos H_3 e H_6 explicitamente:
H_3=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{11}{6},\qquad H_6=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=\frac{49}{20}.
Então
2H_3-H_6=2\cdot\frac{11}{6}-\frac{49}{20}=\frac{11}{3}-\frac{49}{20}=\frac{220-147}{60}=\frac{73}{60}.
Finalmente
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)} =\frac{5}{36}\cdot\frac{73}{60}=\frac{73}{432}.

Passo 7

Resumo final: a série converge absolutamente (pela comparação assintótica com uma p-série de expoente 3) e sua soma é \dfrac{73}{432}.

Resposta

A série converge absolutamente.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{5}{2\,n(n+3)(n+6)}=\frac{73}{432}.

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