Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int 5^{x^{4}+2 x} \cdot\left(2 x^{3}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 5^{x^{4}+2x}\,\bigl(2x^{3}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo aqui é a técnica de substituição de variável, pois no expoente aparece um polinômio cuja derivada difere apenas por constante do fator externo.

Passo 2

Fazemos a troca
u = x^{4} + 2x.
Calculamos du:
du = \bigl(4x^{3} + 2\bigr)\,dx = 2\bigl(2x^{3}+1\bigr)\,dx.
Logo,
\bigl(2x^{3}+1\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Em termos de u, a integral vira
\int 5^{x^{4}+2x}\,\bigl(2x^{3}+1\bigr)\,dx = \int 5^{u}\,\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int 5^{u}\,du.

Passo 4

Sabendo que
\int 5^{u}\,du = \frac{5^{u}}{\ln 5} + C,
temos
\frac{1}{2}\int 5^{u}\,du = \frac{1}{2}\,\frac{5^{u}}{\ln 5} + C = \frac{5^{u}}{2\ln 5} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, substituímos u = x^{4}+2x e obtemos a antiderivada final.

Resposta

\frac{5^{x^{4}+2x}}{2\ln 5} + C.

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