Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int \frac{1}{x^{2}-5 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{x^{2}-5x}\,dx.
O conteúdo principal aqui é frações parciais, pois temos uma função racional cujo denominador é um polinômio de grau 2 que pode ser fatorado.

Passo 2

Fatoramos o denominador:
x^{2}-5x = x(x-5).
Assim, podemos escrever
\frac{1}{x(x-5)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-5},
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por x(x-5) e obtemos a identidade
1 = A(x-5) + Bx = (A+B)\,x - 5A.
Comparando coeficientes de x e termo independente:
\begin{cases} A + B = 0,\\\\ -5A = 1, \end{cases}
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A = -\frac{1}{5}, \quad B = -A = \frac{1}{5}.

Passo 4

Substituindo na integral,
\int \frac{1}{x(x-5)}\,dx = \int\Bigl(-\tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x} + \tfrac{1}{5}\,\frac{1}{x-5}\Bigr)dx = -\tfrac{1}{5}\int \frac{1}{x}\,dx + \tfrac{1}{5}\int \frac{1}{x-5}\,dx.
Integramos cada termo usando \int\frac{1}{u}\,du = \ln|u|.

Passo 5

Fazendo a integração:
-\tfrac{1}{5}\ln\bigl|x\bigr| + \tfrac{1}{5}\ln\bigl|x-5\bigr| + C.
Podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{5}\ln\!\Bigl|\frac{x-5}{x}\Bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{5}\ln\!\Bigl|\frac{x-5}{x}\Bigr| + C.

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