Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int e^{5 x} \cdot \cos (10 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = \int e^{5x}\cos(10x)\,dx
Usaremos integração por partes duas vezes, pois aqui temos produto de e^{5x} por função trigonométrica.

Passo 2

Escolhemos
u = e^{5x},\quad dv = \cos(10x)\,dx.
Então
du = 5e^{5x}\,dx, \quad v = \int \cos(10x)\,dx = \frac{1}{10}\sin(10x).
Por partes:
I = u\,v - \int v\,du = \frac{e^{5x}\sin(10x)}{10} - \frac{1}{10}\int 5e^{5x}\sin(10x)\,dx = \frac{e^{5x}\sin(10x)}{10} - \frac{1}{2}J,
onde definimos
J = \int e^{5x}\sin(10x)\,dx.

Passo 3

Agora calculemos
J = \int e^{5x}\sin(10x)\,dx
por partes com
u = e^{5x},\quad dv = \sin(10x)\,dx \;\Longrightarrow\; du = 5e^{5x}\,dx, \;v = -\frac{1}{10}\cos(10x).
Temos
J = u\,v - \int v\,du = -\frac{e^{5x}\cos(10x)}{10} + \frac{5}{10}\int e^{5x}\cos(10x)\,dx = -\frac{e^{5x}\cos(10x)}{10} + \frac{1}{2}I.

Passo 4

Substituindo J em I:
I = \frac{e^{5x}\sin(10x)}{10} - \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{e^{5x}\cos(10x)}{10} + \frac{1}{2}I\Bigr) = \frac{e^{5x}\sin(10x)}{10} + \frac{e^{5x}\cos(10x)}{20} - \frac{1}{4}I.
Reagrupando I:
\frac{5}{4}I = e^{5x}\Bigl(\frac{\sin(10x)}{10} + \frac{\cos(10x)}{20}\Bigr) = e^{5x}\frac{\cos(10x) + 2\sin(10x)}{20}.
Logo,
I = \frac{4}{5}\,e^{5x}\frac{\cos(10x) + 2\sin(10x)}{20} = \frac{e^{5x}\bigl(\cos(10x) + 2\sin(10x)\bigr)}{25} + C.

Resposta

\int e^{5x}\cos(10x)\,dx = \frac{e^{5x}\bigl(\cos(10x) + 2\sin(10x)\bigr)}{25} + C.

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