Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int \frac{2 x+1}{x^{3}+2 x^{2}-x-2} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral de uma função racional
\int \frac{2x+1}{x^{3}+2x^{2}-x-2}\,dx.
Conteúdo: decomposição em frações parciais. Vamos fatorar o denominador e escrever a função como soma de termos mais simples.

Passo 2

Fatoramos o polinômio do denominador por agrupamento:
x^{3}+2x^{2}-x-2 = x^{2}(x+2)-1(x+2) = (x^{2}-1)(x+2) = (x-1)(x+1)(x+2).

Passo 3

Escrevemos a fração como soma de três termos:
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1} + \frac{C}{x+2}.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)(x+2), obtemos a identidade
2x+1 = A(x+1)(x+2) + B(x-1)(x+2) + C(x-1)(x+1).

Passo 5

Para achar A,B,C basta usar raízes do denominador:
Em x=1:
2\cdot1+1=3 = A\,(2)(3) \quad\Rightarrow\quad A=\frac{3}{6}=\frac12.
Em x=-1:
2(-1)+1=-1 = B\,(-2)(1) \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{2}.
Em x=-2:
2(-2)+1=-3 = C\,(-3)(-1)=3C \quad\Rightarrow\quad C=-1.

Passo 6

A decomposição final fica
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)(x+2)} = \frac{1/2}{x-1} + \frac{1/2}{x+1} - \frac{1}{x+2}.

Passo 7

Integramos termo a termo:
\int \frac{1/2}{x-1}\,dx = \frac12\ln\bigl|x-1\bigr|,\qquad \int \frac{1/2}{x+1}\,dx = \frac12\ln\bigl|x+1\bigr|,\qquad \int -\frac{1}{x+2}\,dx = -\ln\bigl|x+2\bigr|.

Passo 8

Somando tudo e incluindo a constante de integração, obtemos
\frac12\ln\bigl|x-1\bigr| + \frac12\ln\bigl|x+1\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| + C.

Resposta

\int \frac{2x+1}{x^{3}+2x^{2}-x-2}\,dx = \frac12\ln\bigl|x-1\bigr| + \frac12\ln\bigl|x+1\bigr| - \ln\bigl|x+2\bigr| + C.

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