Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas): \int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para separar o termo \sqrt{x^{2}+9} de 1/x^{2} e depois reconhecer a integral padrão de \int 1/\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx.
Passo 2
Escolhemos em integração por partes:
u = \sqrt{x^{2}+9}, \quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.