Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\,dx.
O conteúdo principal aqui é usar integração por partes para separar o termo \sqrt{x^{2}+9} de 1/x^{2} e depois reconhecer a integral padrão de \int 1/\sqrt{x^{2}+a^{2}}\,dx.

Passo 2

Escolhemos em integração por partes:
u = \sqrt{x^{2}+9}, \quad dv = x^{-2}\,dx.
Então
du = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx, \quad v = \int x^{-2}\,dx = -\frac{1}{x}.

Passo 3

Aplicando \displaystyle \int u\,dv = uv - \int v\,du, obtemos
\int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x} - \int \Bigl(-\frac{1}{x}\Bigr)\,\frac{x}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx.
Isso simplifica para
-\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x} + \int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx.

Passo 4

Reconhecemos a fórmula padrão
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+a^{2}}}\,dx = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+a^{2}}\bigr| + C.
Aqui a^{2}=9, logo
\int \frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}\,dx = \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+9}\bigr| + C_{1}.

Passo 5

Substituindo de volta, a integral original fica
\int \frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x^{2}}\,dx = -\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x} + \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+9}\bigr| + C,
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

-\frac{\sqrt{x^{2}+9}}{x} + \ln\bigl|x + \sqrt{x^{2}+9}\bigr| + C.

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