Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int \ln \left(x^{2}+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, pois temos um logaritmo em que podemos escolher u=\ln(x^2+1) e dv=dx.

Passo 2

Definimos
u = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr), \quad dv = dx.
Então
du = \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx \quad\text{e}\quad v = \int dx = x.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes \displaystyle \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, temos
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - \int x\cdot\frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx.

Passo 4

Para calcular \displaystyle \int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx, escrevemos
\frac{x^{2}}{x^{2}+1} = 1 - \frac{1}{x^{2}+1},
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\int \frac{x^{2}}{x^{2}+1}\,dx = \int 1\,dx - \int \frac{1}{x^{2}+1}\,dx = x - \arctan(x).

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão da Parte 3, obtemos
\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2\bigl(x - \arctan(x)\bigr) + C = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

Resposta

\int \ln\bigl(x^{2}+1\bigr)\,dx = x\ln\bigl(x^{2}+1\bigr) - 2x + 2\arctan(x) + C.

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