Calcule as seguintes integrais (este exercício mescla todas as técnicas vistas):
\int a^{x \ln x} \cdot(\ln x+1) d x

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral \displaystyle \int a^{x \ln x}\,(\ln x+1)\,dx.
Vamos usar a técnica de substituição para simplificar o expoente, já que o produto x\ln x aparece e seu derivado também está no integrando.

Passo 2

Definimos a substituição
u = x \ln x.
Derivando em relação a x, obtemos
du = (\ln x + 1)\,dx.

Passo 3

Substituindo em \int a^{x\ln x}\,(\ln x+1)\,dx, fica
\int a^u\,du,
pois (\ln x+1)\,dx = du.

Passo 4

A integral de a^u em relação a u é dada por
\int a^u\,du = \frac{a^u}{\ln a} + C,
válido para a>0 e a\neq1.

Passo 5

Voltando à variável x com u = x\ln x, a primitiva é
\frac{a^{x\ln x}}{\ln a} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{a^{x\ln x}}{\ln a} + C

Exercícios relacionados